図形の性質の問題

1. $\mathrm{AC}$ の長さ

$\mathrm{AB}=\mathrm{AD}$ より、$△\mathrm{ABD}$ は二等辺三角形なので $\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{ADB}$ である。

弧 $\mathrm{AB}$ に対する円周角より $\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ADB}$ である。よって $\angle \mathrm{ABP}=\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{ACB}$ となる。

$△\mathrm{ABP}$ と $△\mathrm{ACB}$ において、$\angle \mathrm{BAP}=\angle \mathrm{CAB}$（共通）であり、$\angle \mathrm{ABP}=\angle \mathrm{ACB}$ である。2 組の角がそれぞれ等しいので $△\mathrm{ABP}\sim △\mathrm{ACB}$ である。したがって
$$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AB}}\text{より}{\mathrm{AB}}^2=\mathrm{AP}\cdot \mathrm{AC}.$$
$36=4\cdot \mathrm{AC}$ より $\mathrm{AC}=9$ である。よって $\mathrm{PC}=9-4=5$ となる。

2. $\mathrm{BP}$, $\mathrm{PD}$ の長さ

方べきの定理（交わる 2 弦）より
$$\mathrm{BP}\cdot \mathrm{PD}=\mathrm{AP}\cdot \mathrm{PC}=4\cdot 5=20.$$
また $\mathrm{BP}+\mathrm{PD}=\mathrm{BD}=9$ である。よって $\mathrm{BP}$, $\mathrm{PD}$ は $t^2-9t+20=0$、すなわち $(t-4)(t-5)=0$ の 2 解である。$\mathrm{BP}<\mathrm{PD}$ より $\mathrm{BP}=4$, $\mathrm{PD}=5$ となる。

3. $\mathrm{CD}$ の長さ

弧 $\mathrm{AD}$ に対する円周角より $\angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{ABD}$ である。$\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{ADB}$ だから $\angle \mathrm{ADP}=\angle \mathrm{ACD}$ となる。

$△\mathrm{ADP}$ と $△\mathrm{ACD}$ において、$\angle \mathrm{DAP}=\angle \mathrm{CAD}$（共通）であるから、$△\mathrm{ADP}\sim △\mathrm{ACD}$ である。したがって
$$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{CD}}\text{より}\mathrm{CD}=\frac{\mathrm{AC}\cdot \mathrm{DP}}{\mathrm{AD}}=\frac{9\cdot 5}{6}=\frac{15}{2}.$$

（確認）同様に $△\mathrm{ABP}\sim △\mathrm{ACB}$ から $\mathrm{BC}=\frac{9\cdot 4}{6}=6$ である。このとき $\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BD}=81$、$\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CD}+\mathrm{AD}\cdot \mathrm{BC}=45+36=81$ となり、トレミーの定理とも合う。

答え: $\mathrm{CD}=\frac{15}{2}$

$\mathrm{AB}=\mathrm{AD}=6$ なので、$\mathrm{BD}$ の中点を $\mathrm{M}$ とすると $\mathrm{AM}\perp \mathrm{BD}$ で、$\mathrm{BM}=\frac{9}{2}$ より ${\mathrm{AM}}^2=36-\frac{81}{4}=\frac{63}{4}$ である。
$\mathrm{AP}=4$ より ${\mathrm{MP}}^2=16-\frac{63}{4}=\frac{1}{4}$ なので $\mathrm{MP}=\frac{1}{2}$ である。$\mathrm{BP}<\mathrm{PD}$ より P は B 側にあるから、$\mathrm{BP}=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=4$、$\mathrm{PD}=5$ となる。
方べきの定理より $\mathrm{AP}\cdot \mathrm{PC}=\mathrm{BP}\cdot \mathrm{PD}=20$ なので $\mathrm{PC}=5$、よって $\mathrm{AC}=9$ である。
円周角より $\angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{ABD}$ であり、$\mathrm{AB}=\mathrm{AD}$ より $\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{ADB}$ である。したがって $\angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{ADP}$ となる。$\angle \mathrm{A}$ は共通なので $△\mathrm{ADP}\sim △\mathrm{ACD}$ である。
この相似から $\mathrm{DP}:\mathrm{CD}=\mathrm{AD}:\mathrm{AC}=6:9=2:3$ が得られる。$\mathrm{DP}=5$ より $\mathrm{CD}=\frac{15}{2}$ である。
検算として座標で確かめる。$\mathrm{M}$ を原点、$\mathrm{B}(-\frac{9}{2},0)$、$\mathrm{D}(\frac{9}{2},0)$、$\mathrm{P}(-\frac{1}{2},0)$、$\mathrm{A}(0,h)$、$h^2=\frac{63}{4}$ とする。$\mathrm{C}=\mathrm{A}+\frac{9}{4}(\mathrm{P}-\mathrm{A})=(-\frac{9}{8},-\frac{5}{4}h)$ である。このとき ${\mathrm{CD}}^2=(\frac{45}{8}{)}^2+\frac{25}{16}\cdot \frac{63}{4}=\frac{2025}{64}+\frac{1575}{64}=\frac{3600}{64}={\left(\frac{15}{2}\right)}^2$ となり一致する。