図形の性質の問題

手順1：内対角を求める。
$\angle \mathrm{DCE}$ は、四角形 $\mathrm{ABCD}$ の頂点 $\mathrm{C}$ における外角です。この外角に対する内対角（向かい合う頂点の内角）は $\angle \mathrm{BAD}$ です。

三角形 $\mathrm{ABD}$ の内角の和は $180^{\circ }$ なので
$$\angle \mathrm{BAD}=180^{\circ }-35^{\circ }-60^{\circ }=85^{\circ }$$

手順2：円に内接する四角形の性質を使う。
円に内接する四角形では、外角はその内対角に等しくなります。よって
$$\angle \mathrm{DCE}=\angle \mathrm{BAD}=85^{\circ }$$

（確認）対角の和が $180^{\circ }$ であることから $\angle \mathrm{BCD}=180^{\circ }-85^{\circ }=95^{\circ }$ です。$\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{E}$ は一直線上にあるので $\angle \mathrm{DCE}=180^{\circ }-95^{\circ }=85^{\circ }$ となり、同じ結果になります。

したがって $x=85$ です。

三角形 ABD の内角の和より $\angle \mathrm{BAD}=180^{\circ }-35^{\circ }-60^{\circ }=85^{\circ }$ である。
円に内接する四角形では対角の和が $180^{\circ }$ なので、$\angle \mathrm{BCD}=180^{\circ }-85^{\circ }=95^{\circ }$ となる。
$\mathrm{E}$ は $\mathrm{BC}$ を $\mathrm{C}$ 側に延長した直線上の点だから、$\angle \mathrm{DCE}=180^{\circ }-\angle \mathrm{BCD}=85^{\circ }$ である。
これは内接四角形の外角が内対角 $\angle \mathrm{BAD}=85^{\circ }$ に等しいという性質とも一致する。
検算：$85+95=180$ で、$\angle \mathrm{BAD}+\angle \mathrm{BCD}=180^{\circ }$ を満たす。
よって $x=85$。