円に内接する四角形 がある。辺 の の側への延長上に点 をとる。
であるとき、 の値を求めよ。
円に内接する四角形
円に内接する四角形の対角の和が 、外角が内対角に等しいことを使って角を求め、四角形が円に内接する条件を判定できる
前提
- 円周角の定理とその逆 （数学A 図形の性質）
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- 円周角の定理とその逆 （数学A 図形の性質）
説明
円に内接する四角形（4つの頂点がすべて1つの円周上にある四角形）では、向かい合う角（対角）の和が必ず になります。この性質を使うと、一部の角がわかっているときに残りの角を求めることができます。逆に、四角形の対角の和が であることを確かめれば、その四角形が円に内接すると判定できます。図形の角度の問題や、4点が同一円周上にあることを示す問題で使います。
なぜそうしてよいのか
円に内接する四角形 を考えます。 は、 を含まない側の弧 に対する円周角です。 は、 を含まない側の弧 に対する円周角です。円の中心を とすると、円周角の定理から、それぞれの角は対応する弧の中心角の半分です。弧が半円より大きいときは、中心角は より大きい角として考えます。弧 と弧 を合わせると円周全体になるので、2つの中心角の和は です。したがって となります。 も同じように示せます。
次に、辺 を の先へ延ばした直線上に点 をとります。 を頂点 における外角といいます。 は一直線上にあるので です。これと を比べると、 が得られます。つまり、外角はその内対角（となりではなく向かい側の内角）に等しくなります。
逆も成り立ちます。3点 を通る円をかき、点 は直線 に関して と反対側にあるとします。このとき、その側の弧の上の点から を見込む角はちょうど です。 が円の内側にあれば見込む角はこれより大きく、外側にあれば小さくなります。これは円周角の定理の逆と同じ考え方です。よって ならば はこの円周上にあり、四角形 は円に内接します。同様に、ある頂点の外角がその内対角に等しい場合も、四角形は円に内接します。
手順
四角形の4頂点が1つの円周上にあり、頂点が円周上で の順に並んでいることを確認する（判定の問題では、この手順は最後の結論になる）。
どの2つの角が向かい合う角（対角）かを見きわめる。 と 、 と が対角の組である。外角を使うときは、その外角の内対角（向かい側の内角）を見つける。
性質を式にする。対角なら （または ）、外角なら（ の外角） のようにおく。
式を解いて、求める角や文字の値を出す。
内接するかどうかの判定では、対角の和が になるか、または外角が内対角に等しいかを調べる。成り立てば「円に内接する」、成り立たなければ「内接しない」と結論する。
例題
四角形 は円に内接している。、 のとき、 の値を求めよ。
例題の解答
手順1: 四角形 は円に内接しており、頂点は円周上で の順に並んでいる。
手順2: （頂点 の角）と （頂点 の角）は向かい合う角、すなわち対角の組である。
手順3: 円に内接する四角形の対角の和は なので、次の式が成り立つ。
手順4: 左辺をまとめると となる。よって より である。
確認すると、、 で、和は になっている。
答え:
よくある誤り
となり合う角の和を としてしまう誤り。たとえば とするのは間違いである。正しくは、向かい合う角について 、 が成り立つ（となり合う角の和が になるのは、平行な辺があるときなど別の理由による）。
外角をとなりの内角と等しいとしてしまう誤り。たとえば辺 を延長してできる の外角を や と等しいとするのは間違いである。正しくは、 の外角は内対角 （）に等しい。
円に内接していない四角形にもこの性質を使ってしまう誤り。たとえば一般の平行四辺形では だが、 とは限らない。正しくは、円に内接することがわかっている場合にだけ対角の和 を使う。内接するかどうかが不明なら、対角の和が になるかを調べて判定する。
判定のときに1組の角だけを見て、対角でない2角の和で判断してしまう誤り。たとえば 、 から「和が だから内接する」とするのは間違いである。正しくは、対角の組 と （または と ）の和が になるかを確かめる。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
円に内接する四角形 があり、頂点 はこの順に円周上に並んでいる。辺 を点 の側に延長した直線上に点 をとると、 であった。このとき、 の大きさを求めよ。ただし、答えは度を単位とする数値で答えよ。
円に内接する四角形 がある。対角線 について、、 である。辺 を点 の側に延長した直線上に点 をとる。 とするとき、 の値を求めよ。
この技能を使う問題
この技能の次に学べること
- 垂心 （数学A 図形の性質）