図形の性質の問題

1. $\angle \mathrm{ADC}$ と $\mathrm{AC}$ を求める。

四角形 $\mathrm{ABCD}$ は円に内接するので、対角の和は $180^{\circ }$ です。よって $\angle \mathrm{ABC}=180^{\circ }-\angle \mathrm{ADC}$ となり、$\cos \angle \mathrm{ABC}=-\cos \angle \mathrm{ADC}$ が成り立ちます。$\cos \angle \mathrm{ADC}=c$ とおきます。

$△\mathrm{ACD}$ に余弦定理を用いると
$${\mathrm{AC}}^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5c=34-30c$$
$△\mathrm{ABC}$ に余弦定理を用いると
$${\mathrm{AC}}^2=7^2+7^2-2\cdot 7\cdot 7\cdot (-c)=98+98c$$
となります。2 式から $34-30c=98+98c$ より $128c=-64$、すなわち $c=-\frac{1}{2}$ です。

したがって $\angle \mathrm{ADC}=120^{\circ }$ であり、${\mathrm{AC}}^2=34+15=49$ より $\mathrm{AC}=7$ です。

2. $\angle \mathrm{ADB}$ と $\angle \mathrm{BDC}$ を求める。

$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$ なので、等しい弦に対する円周角は等しくなります。点 $\mathrm{D}$ は $\mathrm{B}$ を含まない側の弧の上にあるので、
$$\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{BDC}=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }$$
です。

3. $\mathrm{BD}$ を求める。

$\mathrm{BD}=x$ とおき、$△\mathrm{ABD}$ に余弦定理を用いると
$$49=9+x^2-2\cdot 3\cdot x\cos 60^{\circ }=9+x^2-3x$$
となります。よって $x^2-3x-40=0$ から $(x-8)(x+5)=0$ となり、$x>0$ より $\mathrm{BD}=8$ です。

(確認として $△\mathrm{BCD}$ で計算すると $5^2+8^2-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=89-40=49=7^2$ となり、矛盾しません。)

4. $\mathrm{DE}$ を求める。

$\mathrm{DE}$ は $\angle \mathrm{ADC}$ の二等分線です。$△\mathrm{ACD}$ の面積を 2 通りに表します。
$$\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 5\sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \mathrm{DE}\sin 60^{\circ }+\frac{1}{2}\cdot 5\cdot \mathrm{DE}\sin 60^{\circ }$$
左辺は $\frac{15\sqrt{3}}{4}$、右辺は $\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 8\mathrm{DE}=2\sqrt{3}\mathrm{DE}$ です。よって $\mathrm{DE}=\frac{15}{8}$ となります。

5. 答え

$$\mathrm{BE}=\mathrm{BD}-\mathrm{DE}=8-\frac{15}{8}=\frac{49}{8}$$

(検算: 角の二等分線の性質より $\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=3:5$ なので、$\mathrm{AE}=\frac{21}{8}$、$\mathrm{EC}=\frac{35}{8}$ です。方べきの定理より $\mathrm{AE}\cdot \mathrm{EC}=\frac{735}{64}$ となり、これは $\mathrm{BE}\cdot \mathrm{DE}=\frac{49}{8}\cdot \frac{15}{8}=\frac{735}{64}$ と一致します。)

円に内接するので $\angle B+\angle D=180^{\circ }$ であり、$\cos D=-\cos B$ となる。$\mathrm{AC}=x$ とおき、$△ABC$ と $△ACD$ に余弦定理を使う。
$x^2=49+49-98\cos B=98-98\cos B$
$x^2=25+9-30\cos D=34+30\cos B$
これらを等しいとおくと $64=128\cos B$ なので $\cos B=\frac{1}{2}$、$B=60^{\circ }$。
$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=7$ より $△ABC$ は正三角形で、$\mathrm{AC}=7$。

トレミーの定理より $\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BD}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot \mathrm{DA}=35+21=56$。よって $\mathrm{BD}=8$。

$△ABE\sim △DCE$ などの相似、または面積比から
$\mathrm{BE}:\mathrm{ED}=\mathrm{BA}\cdot \mathrm{BC}:\mathrm{DA}\cdot \mathrm{DC}=49:15$。
したがって $\mathrm{BE}=8\cdot \frac{49}{64}=\frac{49}{8}$。

検算：$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AD}:\mathrm{CB}\cdot \mathrm{CD}=21:35=3:5$ より $\mathrm{AE}=\frac{21}{8}$、$\mathrm{EC}=\frac{35}{8}$。$\mathrm{BE}=\frac{49}{8}$、$\mathrm{ED}=\frac{15}{8}$ なので、方べきの定理 $\mathrm{AE}\cdot \mathrm{EC}=\mathrm{BE}\cdot \mathrm{ED}$ は両辺とも $\frac{735}{64}$ で成り立つ。