図形の性質の問題

(i) 等しい弦に対する円周角

$\mathrm{AB}=\mathrm{AD}$ より、弧 $\mathrm{AB}$ と弧 $\mathrm{AD}$（点 $\mathrm{C}$ を含まない側）は等しい。等しい弧に対する円周角は等しいので
$$\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ACD}$$
である。この角を $\alpha$ とおく。さらに、弧 $\mathrm{AD}$ に対する円周角として $\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{ACD}=\alpha$ も成り立つ。

(ii) $\mathrm{AC}$ の長さ

$\mathrm{AC}=x(x>0)$ とおく。$△\mathrm{ABC}$ と $△\mathrm{ADC}$ に余弦定理を用いると
$$16=x^2+36-12x\cos \alpha (1)$$
$$16=x^2+9-6x\cos \alpha (2)$$
$(2)$ の両辺を $2$ 倍すると $32=2x^2+18-12x\cos \alpha$ である。これから $(1)$ を引くと
$$16=x^2-18$$
となり、$x^2=34$ を得る。$x>0$ より $\mathrm{AC}=\sqrt{34}$ である。

（このとき $(2)$ より $\cos \alpha =\frac{x^2-7}{6x}=\frac{27}{6\sqrt{34}}=\frac{9}{2\sqrt{34}}$ となり、$0<\cos \alpha <1$ を満たすので、このような四角形は確かに存在する。）

(iii) 相似を用いて $\mathrm{AP}$ を求める

$△\mathrm{ABP}$ と $△\mathrm{ACB}$ において、
- $\angle \mathrm{BAP}=\angle \mathrm{CAB}$（共通）
- $\angle \mathrm{ABP}=\angle \mathrm{ABD}=\alpha =\angle \mathrm{ACB}$

であるから、$△\mathrm{ABP}\sim △\mathrm{ACB}$ となる。よって $\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=\mathrm{AP}:\mathrm{AB}$ であり
$${\mathrm{AB}}^2=\mathrm{AP}\cdot \mathrm{AC}$$
が成り立つ。したがって
$$\mathrm{AP}=\frac{16}{\sqrt{34}}=\frac{8\sqrt{34}}{17}$$
である。

(検算)

$\mathrm{PC}=\sqrt{34}-\frac{16}{\sqrt{34}}=\frac{18}{\sqrt{34}}$ である。

一方、$\mathrm{CP}$ は $\angle \mathrm{BCD}$ の二等分線なので $\mathrm{BP}:\mathrm{PD}=6:3=2:1$ である。$△\mathrm{BCD}$ と $△\mathrm{BAD}$ に余弦定理を用いると $\mathrm{BD}=\frac{18\sqrt{34}}{17}$ となるので、$\mathrm{BP}=\frac{12\sqrt{34}}{17}$、$\mathrm{PD}=\frac{6\sqrt{34}}{17}$ である。

方べきの定理 $\mathrm{AP}\cdot \mathrm{PC}=\mathrm{BP}\cdot \mathrm{PD}$ について、両辺とも $\frac{72\cdot 34}{289}$ となり一致する。

答え: $\mathrm{AP}=\frac{8\sqrt{34}}{17}$

四角形は円に内接するので、トレミーの定理より $\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BD}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CD}+\mathrm{AD}\cdot \mathrm{BC}=12+24=36$。

$\angle \mathrm{BAD}=A$ とおくと $\angle \mathrm{BCD}=180^{\circ }-A$ である。$△\mathrm{ABD}$ と $△\mathrm{CBD}$ に余弦定理を用いると
${\mathrm{BD}}^2=16+16-32\cos A=32-32\cos A$、
${\mathrm{BD}}^2=36+9-36\cos (180^{\circ }-A)=45+36\cos A$。

これらを等置すると $-13=68\cos A$ より $\cos A=-\frac{13}{68}$。したがって ${\mathrm{BD}}^2=32+\frac{104}{17}=\frac{648}{17}$、$\mathrm{BD}=\frac{18\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$。

よって $\mathrm{AC}=\frac{36}{\mathrm{BD}}=\frac{36\sqrt{17}}{18\sqrt{2}}=\sqrt{34}$。

次に $\mathrm{AP}:\mathrm{PC}$ を求める。$△\mathrm{ABD}$ と $△\mathrm{CBD}$ は辺 $\mathrm{BD}$ を共有し、高さの比が $\mathrm{AP}:\mathrm{PC}$ なので、面積比は $\mathrm{AP}:\mathrm{PC}$ に等しい。$\sin A=\sin (180^{\circ }-A)$ より
$\mathrm{AP}:\mathrm{PC}=△\mathrm{ABD}:△\mathrm{CBD}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\sin A:\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3\sin A=16:18=8:9$。

ゆえに $\mathrm{AP}=\frac{8}{17}\mathrm{AC}=\frac{8\sqrt{34}}{17}$。

検算：$\mathrm{AP}\approx 2.744$、$\mathrm{AC}=\sqrt{34}\approx 5.831$ で、$\mathrm{AP}/\mathrm{AC}=8/17\approx 0.4706$ となり矛盾はない。