図形の性質の問題

方針：円周角の定理を使って相似な三角形を 2 組見つけ、$\mathrm{AE}\cdot \mathrm{AC}$ と $\mathrm{CE}\cdot \mathrm{CA}$ を求める。この 2 つを足すと ${\mathrm{AC}}^2$ になる。

準備：$\mathrm{AB}=\mathrm{AD}$ より、弦 $\mathrm{AB}$ と弦 $\mathrm{AD}$ の長さが等しい。等しい弦に対する円周角は等しいので
$$\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ACD}$$
である。

相似 1：$△\mathrm{ABE}\sim △\mathrm{ACB}$

弧 $\mathrm{AD}$ に対する円周角より $\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{ACD}$ である。準備の結果と合わせて
$$\angle \mathrm{ABE}=\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{ACB}$$
となる。また $\angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{CAB}$（共通）である。2 組の角がそれぞれ等しいので $△\mathrm{ABE}\sim △\mathrm{ACB}$ であり、
$$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AB}}\text{より}\mathrm{AE}\cdot \mathrm{AC}={\mathrm{AB}}^2=7(1)$$

相似 2：$△\mathrm{CBE}\sim △\mathrm{CAD}$

準備の結果より $\angle \mathrm{BCE}=\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ACD}$ である。また弧 $\mathrm{CD}$ に対する円周角より $\angle \mathrm{CBE}=\angle \mathrm{CBD}=\angle \mathrm{CAD}$ である。よって $△\mathrm{CBE}\sim △\mathrm{CAD}$ であり、
$$\frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{CA}}=\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{CD}}\text{より}\mathrm{CE}\cdot \mathrm{CA}=\mathrm{CB}\cdot \mathrm{CD}=6\cdot 3=18(2)$$

$\mathrm{AC}$ を求める：$\mathrm{E}$ は線分 $\mathrm{AC}$ 上にあるので $\mathrm{AE}+\mathrm{CE}=\mathrm{AC}$ である。$(1)$ と $(2)$ を辺々足すと
$$(\mathrm{AE}+\mathrm{CE})\cdot \mathrm{AC}=7+18\text{すなわち}{\mathrm{AC}}^2=25$$
$\mathrm{AC}>0$ より $\mathrm{AC}=5$ である。

$\mathrm{AE}$ を求める：$(1)$ より
$$\mathrm{AE}=\frac{7}{\mathrm{AC}}=\frac{7}{5}$$

検算：$△\mathrm{ABC}$ と $△\mathrm{ADC}$ に余弦定理を使う。円に内接する四角形の対角の和は $180^{\circ }$ なので $\cos D=-\cos B$ である。
$${\mathrm{AC}}^2=7+36-12\sqrt{7}\cos B,{\mathrm{AC}}^2=7+9+6\sqrt{7}\cos B$$
この 2 式から $18\sqrt{7}\cos B=27$、すなわち $\cos B=\frac{3}{2\sqrt{7}}$ となる。これを代入すると ${\mathrm{AC}}^2=43-18=25$ となり、$\mathrm{AC}=5$ と一致する。

また $(2)$ より $\mathrm{CE}=\frac{18}{5}$ であり、$\mathrm{AE}+\mathrm{CE}=\frac{7}{5}+\frac{18}{5}=5=\mathrm{AC}$ も成り立つ。

したがって $\mathrm{AE}=\frac{7}{5}$ である。

AB=AD より、弧 AB と弧 AD は等しいので、AC は ∠BCD の二等分線である。よって BE:ED = CB:CD = 6:3 = 2:1。

BD を求める。∠BAD=A とすると ∠BCD=180°−A である。△ABD と △CBD に余弦定理を用いると
BD² = 7+7−14cosA = 14−14cosA
BD² = 36+9−36cos(180°−A) = 45+36cosA
両式から 14−14cosA = 45+36cosA なので cosA = −31/50。
よって BD² = 14+14·31/50 = 567/25 となり、BD = 9√7/5。

BE = (2/3)BD = 6√7/5、ED = 3√7/5。

BD の中点を M とすると、AB=AD より AM ⟂ BD であり、BM = 9√7/10。
AM² = 7 − (9√7/10)² = 7 − 567/100 = 133/100。
EM = BE − BM = 6√7/5 − 9√7/10 = 3√7/10 で、EM² = 63/100。
したがって AE² = AM² + EM² = 133/100 + 63/100 = 196/100 となり、AE = 7/5。

検算: 方べきの定理より AE·EC = BE·ED = (6√7/5)(3√7/5) = 126/25。よって EC = (126/25)/(7/5) = 18/5、AC = 7/5+18/5 = 5。
トレミーの定理より AC·BD = AB·CD + AD·BC = 3√7+6√7 = 9√7。左辺は 5·(9√7/5) = 9√7 で一致する。