図形の性質の問題

1. $\mathrm{PA}$, $\mathrm{PC}$ を求める。

方べきの定理より $\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PC}=\mathrm{PB}\cdot \mathrm{PD}=3\cdot 4=12$。また $\mathrm{PA}+\mathrm{PC}=\mathrm{AC}=8$ なので、$\mathrm{PA}$, $\mathrm{PC}$ は $t^2-8t+12=0$ の 2 解 $t=2,6$ である。$\mathrm{PA}<\mathrm{PC}$ より $\mathrm{PA}=2$, $\mathrm{PC}=6$。

2. $\mathrm{M}$ は辺 $\mathrm{CD}$ の中点であることを示す。

直線 $\mathrm{PM}$ と直線 $\mathrm{AB}$ の交点を $\mathrm{H}$ とすると $\mathrm{PH}\perp \mathrm{AB}$ である。直角三角形 $\mathrm{PAB}$ において、
$$\angle \mathrm{APH}=90^{\circ }-\angle \mathrm{PAB}=\angle \mathrm{PBA}=\angle \mathrm{ABD}.$$
対頂角より $\angle \mathrm{MPC}=\angle \mathrm{APH}$。また弧 $\mathrm{AD}$ に対する円周角より $\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{ACD}$。よって
$$\angle \mathrm{MPC}=\angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{MCP}$$
となり、$\mathrm{MP}=\mathrm{MC}$。さらに $\angle \mathrm{CPD}=90^{\circ }$ より
$$\angle \mathrm{MPD}=90^{\circ }-\angle \mathrm{MPC}=90^{\circ }-\angle \mathrm{MCP}=\angle \mathrm{MDP}$$
なので $\mathrm{MP}=\mathrm{MD}$。したがって $\mathrm{MC}=\mathrm{MD}$ で、$\mathrm{M}$ は辺 $\mathrm{CD}$ の中点である。

3. 座標で計算する。

$\mathrm{P}$ を原点、直線 $\mathrm{AC}$ を $x$ 軸、直線 $\mathrm{BD}$ を $y$ 軸にとり、
$$\mathrm{A}(-2,0),\mathrm{B}(0,-3),\mathrm{C}(6,0),\mathrm{D}(0,4)$$
とする（$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}$ が円周上にこの順に並ぶ配置）。

中心 $\mathrm{O}$ は弦 $\mathrm{AC}$ の垂直二等分線 $x=\frac{-2+6}{2}=2$ と、弦 $\mathrm{BD}$ の垂直二等分線 $y=\frac{-3+4}{2}=\frac{1}{2}$ の交点なので $\mathrm{O}\left(2,\frac{1}{2}\right)$。

$\mathrm{M}$ は $\mathrm{CD}$ の中点なので $\mathrm{M}(3,2)$。（確認: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,-3)$, $\overrightarrow{\mathrm{PM}}=(3,2)$ で内積 $6-6=0$ となり、$\mathrm{PM}\perp \mathrm{AB}$ を満たす。）

4. 面積。

$\overrightarrow{\mathrm{PO}}=\left(2,\frac{1}{2}\right)$, $\overrightarrow{\mathrm{PM}}=(3,2)$ より
$$△\mathrm{OPM}=\frac{1}{2}\left|2\cdot 2-\frac{1}{2}\cdot 3\right|=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{2}=\frac{5}{4}.$$

よって求める面積は $\frac{5}{4}$ である。

P を原点、直線 AC を $x$ 軸、直線 BD を $y$ 軸にとる。

方べきの定理より $\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PC}=\mathrm{PB}\cdot \mathrm{PD}=12$。$\mathrm{PA}+\mathrm{PC}=8$ かつ $\mathrm{PA}<\mathrm{PC}$ なので $\mathrm{PA}=2,\mathrm{PC}=6$。

よって A(-2,0), C(6,0), B(0,3), D(0,-4) とおける。B と D は AC の反対側にあり、頂点の順序 A, B, C, D とも合う。

円の中心 O は弦 AC, BD の垂直二等分線の交点である。弦 AC の垂直二等分線は $x=2$、弦 BD の垂直二等分線は $y=-\frac{1}{2}$ なので、O(2, -1/2)。

直線 AB の方向ベクトルは (2,3) である。これに垂直な P を通る直線は、方向ベクトル (3,-2) をもち、点 $(3t,-2t)$ と表せる。

直線 CD は $y=\frac{2}{3}(x-6)$。これに代入すると $-2t=\frac{2}{3}(3t-6)=2t-4$ より $t=1$。よって M(3,-2) であり、これは CD の中点で、辺 CD 上にある。

三角形 OPM の面積は
$\frac{1}{2}|2\cdot (-2)-(-\frac{1}{2})\cdot 3|=\frac{1}{2}|-4+\frac{3}{2}|=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{2}=\frac{5}{4}$。

検算：OA² = 4²... すなわち $(2+2{)}^2+\frac{1}{4}=\frac{65}{4}$、OB² = $4+(3.5{)}^2=\frac{65}{4}$ で等しく、O は外心として正しい。