相似と三平方の定理の問題

台形の高さを求める

$AD\parallel BC$ なので、$△OAD$ と $△OCB$ で錯角が等しく、$△OAD\sim △OCB$ です。相似比は
$$AD:CB=4:10=2:5$$
よって $AO:OC=DO:OB=2:5$ です。

台形の高さを $h\text{cm}$ とすると、$△OAD$ と $△OCB$ の（$AD$, $BC$ を底辺とみたときの）高さの比も $2:5$ なので、$△OAD$ の高さは $\frac{2}{7}h$ です。
$$\frac{1}{2}\times 4\times \frac{2}{7}h=8$$
$$\frac{4}{7}h=8,h=14$$

線分 $PQ$ の長さを求める

$△ABC$ で $PO\parallel BC$ なので
$$PO:BC=AO:AC=2:7,PO=10\times \frac{2}{7}=\frac{20}{7}$$
$△DBC$ で $OQ\parallel BC$ なので
$$OQ:BC=DO:DB=2:7,OQ=10\times \frac{2}{7}=\frac{20}{7}$$
よって
$$PQ=\frac{20}{7}+\frac{20}{7}=\frac{40}{7}(\text{cm})$$

四角形 $PBCQ$ の面積

四角形 $PBCQ$ は $PQ\parallel BC$ の台形で、その高さは点 $O$ と辺 $BC$ の距離、つまり $△OCB$ の高さ $\frac{5}{7}h=\frac{5}{7}\times 14=10\text{cm}$ です。よって
$$\frac{1}{2}\times \left(\frac{40}{7}+10\right)\times 10=5\times \frac{110}{7}=\frac{550}{7}({\text{cm}}^2)$$

AD $\parallel$ BC より △AOD $\sim$ △COB で相似比は AD:CB $=4:10=2:5$。よって O から AD までの高さと O から BC までの高さの比も $2:5$。
台形の高さを $h$ cm とすると O から AD までの高さは $\frac{2}{7}h$。△AOD $=\frac{1}{2}\times 4\times \frac{2}{7}h=\frac{4}{7}h=8$ より $h=14$。O から AD までの高さは $4$、O から BC までの高さは $10$。
PQ $\parallel$ AD より、AP:AB $=4:14=2:7$。PQ は AD から BC へ向かって長さが一次的に変わるので、PQ $=4+(10-4)\times \frac{2}{7}=\frac{40}{7}$ cm。
四角形 PBCQ は PQ $\parallel$ BC の台形で、上底 $\frac{40}{7}$、下底 $10$、高さ $10$（O から BC まで）。
面積 $=\frac{1}{2}\times \left(\frac{40}{7}+10\right)\times 10=5\times \frac{110}{7}=\frac{550}{7}$ cm${}^2$。
検算: 台形 ABCD の面積 $\frac{1}{2}\times 14\times 14=98$。台形 APQD の面積 $\frac{1}{2}\times \left(4+\frac{40}{7}\right)\times 4=\frac{136}{7}$。$98-\frac{136}{7}=\frac{550}{7}$。