図形の性質の問題

角の大きさを $\angle \mathrm{A}=A,\angle \mathrm{B}=B,\angle \mathrm{C}=C$ とする（度数法で計算し、最後に弧度法に直す）。$A>90^{\circ }$ なので $B,C$ は鋭角であり、$\mathrm{D}$ は辺 $\mathrm{BC}$ 上に、$\mathrm{E}$ は辺 $\mathrm{CA}$ の $\mathrm{A}$ の側への延長上に、$\mathrm{F}$ は辺 $\mathrm{BA}$ の $\mathrm{A}$ の側への延長上にある。

$△\mathrm{DEF}$ の角を求める.

$\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{AEB}=90^{\circ }$ より、$4$ 点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{D},\mathrm{E}$ は $\mathrm{AB}$ を直径とする円の周上にある。点 $\mathrm{C}$ からこの円に引いた $2$ 本の割線について、方べきの定理より $\mathrm{CD}\cdot \mathrm{CB}=\mathrm{CE}\cdot \mathrm{CA}$ である。よって $\mathrm{CD}:\mathrm{CA}=\mathrm{CE}:\mathrm{CB}$ で、$\angle \mathrm{C}$ は共通だから $△\mathrm{CDE}\backsim △\mathrm{CAB}$ であり
$$\angle \mathrm{CDE}=A,\angle \mathrm{CED}=B$$
である。同様に、$4$ 点 $\mathrm{A},\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{F}$ は $\mathrm{AC}$ を直径とする円の周上にあり、$△\mathrm{BDF}\backsim △\mathrm{BAC}$ より
$$\angle \mathrm{BDF}=A,\angle \mathrm{BFD}=C$$
である。

さらに $\angle \mathrm{BEC}=\angle \mathrm{BFC}=90^{\circ }$ より、$4$ 点 $\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{E},\mathrm{F}$ は $\mathrm{BC}$ を直径とする円の周上にあり、弦 $\mathrm{BF}$ と弦 $\mathrm{CE}$ は点 $\mathrm{A}$ で交わる。方べきの定理より $\mathrm{AE}\cdot \mathrm{AC}=\mathrm{AF}\cdot \mathrm{AB}$、また $\angle \mathrm{EAF}=\angle \mathrm{BAC}$（対頂角）だから $△\mathrm{AEF}\backsim △\mathrm{ABC}$ であり
$$\angle \mathrm{AEF}=B,\angle \mathrm{AFE}=C$$
である。

これらを合わせる。

• 頂点 $\mathrm{D}$: $\mathrm{E},\mathrm{F}$ は直線 $\mathrm{BC}$ の同じ側にあり、$\angle \mathrm{CDE}+\angle \mathrm{BDF}=2A>180^{\circ }$ なので $\angle \mathrm{EDF}=2A-180^{\circ }$。
• 頂点 $\mathrm{E}$: 半直線 $\mathrm{EA}$ と $\mathrm{EC}$ は一致し、$\mathrm{D}$ と $\mathrm{F}$ は直線 $\mathrm{CA}$ について反対側にあるので $\angle \mathrm{DEF}=\angle \mathrm{CED}+\angle \mathrm{AEF}=2B$。
• 頂点 $\mathrm{F}$: 同様に $\angle \mathrm{DFE}=\angle \mathrm{BFD}+\angle \mathrm{AFE}=2C$。

（和は $2A-180^{\circ }+2B+2C=180^{\circ }$ となり確かに三角形の角である。）

相似の条件. $△\mathrm{DEF}\backsim △\mathrm{ABC}$ だから、$3$ つの角 $2A-180^{\circ },2B,2C$ は、$A,B,C$ を（同じ値が複数あればその個数も込めて）並べかえたものである。

ここで、$2B\ne B,2C\ne C$、また $A<180^{\circ }$ より $2A-180^{\circ }<A$ である。

• $B=C$ の場合: $△\mathrm{DEF}$ の角は $2A-180^{\circ },2B,2B$、$△\mathrm{ABC}$ の角は $A,B,B$ である。$2B\ne B$ なので、$2$ つの $2B$ はどちらも $A$ に等しくなければならない。しかし $△\mathrm{ABC}$ の角のうち $A$ に等しいものは $1$ つしかない（$A$ は鈍角、$B$ は鋭角で $A\ne B$）ので、これは不可能である。よって $B=C$ にはならない。
• $B\ne C$ の場合: $A$ は鈍角、$B,C$ は鋭角なので $A,B,C$ はすべて異なる。$△\mathrm{DEF}$ の $3$ つの角を $A,B,C$ に対応させるとき、上で見たようにどの角も「自分自身」（$2A-180^{\circ }$ と $A$、$2B$ と $B$、$2C$ と $C$）には対応しないので、対応は $3$ つが順にめぐる形になる。$B<C$ としてよい（$B>C$ のときは $B$ と $C$ を入れかえて同じ結果になる）。
• $2A-180^{\circ }=B,2B=C,2C=A$ のとき: $C=2B,A=4B$ で、$A+B+C=7B=180^{\circ }$。$B=\frac{180^{\circ }}{7},C=\frac{360^{\circ }}{7},A=\frac{720^{\circ }}{7}$ で、$2A-180^{\circ }=\frac{1440^{\circ }-1260^{\circ }}{7}=\frac{180^{\circ }}{7}=B$ も成り立ち、$A>90^{\circ }$ も満たす。
• $2A-180^{\circ }=C,2C=B,2B=A$ のとき: $B=2C>C$ となり $B<C$ に反する。

よって $A=\frac{720^{\circ }}{7}$ であり、弧度法で表すと
$$\angle \mathrm{A}=\frac{720}{7}\times \frac{\pi }{180}=\frac{4}{7}\pi$$
である。

$\angle \mathrm{A}=A$, $\angle \mathrm{B}=B$, $\angle \mathrm{C}=C$ とおく。$A$ は鈍角なので $B,C$ は鋭角で、$B+C<\frac{\pi }{2}$。

垂心を $\mathrm{H}$ とする。$\angle \mathrm{BFC}=\angle \mathrm{BEC}=\frac{\pi }{2}$ より $\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{E},\mathrm{F}$ は同一円周上にある（$\mathrm{BC}$ が直径）。同様に $\mathrm{A},\mathrm{F},\mathrm{D},\mathrm{C}$ などの関係から $△\mathrm{DEF}$ の角を求めると（$A$ が鈍角のとき）
$$\angle \mathrm{EDF}=2A-\pi ,\angle \mathrm{DEF}=2B,\angle \mathrm{DFE}=2C$$
となる（和は $2(A+B+C)-\pi =\pi$ で整合する。たとえば $△\mathrm{AEF}\sim △\mathrm{ABC}$ から $\angle \mathrm{AFE}=C$, 同様に $\angle \mathrm{BFD}=\pi -C$ の外側の角などから $\angle \mathrm{DFE}=\pi -\angle \mathrm{AFE}-\angle \mathrm{BFD}$ の関係を用いて確かめられる。直角三角形 $\mathrm{ABC}$ ではなく鈍角三角形のとき $\angle \mathrm{DFE}=2C$, $\angle \mathrm{DEF}=2B$）。

$△\mathrm{DEF}\sim △\mathrm{ABC}$ なので、角の集合として $\{2A-\pi ,2B,2C\}=\{A,B,C\}$。

• $2A-\pi =A$ とすると $A=\pi$ で不適。$2A-\pi =B$ または $C$ のとき、$A$ に等しい角は $2B$ か $2C$ である。
• $2B=A$ の場合: 残りの $\{2A-\pi ,2C\}=\{B,C\}$。$2C=C$ は不可能なので $2C=B$, $2A-\pi =C$。このとき $A=2B$, $C=\frac{B}{2}$。$A+B+C=\frac{7}{2}B=\pi$ より $B=\frac{2\pi }{7}$, $A=\frac{4\pi }{7}$, $C=\frac{\pi }{7}$。確認: $2A-\pi =\frac{8\pi }{7}-\pi =\frac{\pi }{7}=C$ ✓、$A=\frac{4\pi }{7}>\frac{\pi }{2}$（鈍角）✓。
• $2C=A$ の場合は $B$ と $C$ の役割を入れ替えるだけで同じ $A=\frac{4\pi }{7}$。
• $2B=A$ かつ $2C=A$ なら $B=C$, $A=\frac{\pi }{2}$ となり鈍角でない。

検算: $△\mathrm{ABC}$ の角 $\left(\frac{4\pi }{7},\frac{2\pi }{7},\frac{\pi }{7}\right)$ のとき $△\mathrm{DEF}$ の角は $\left(\frac{\pi }{7},\frac{4\pi }{7},\frac{2\pi }{7}\right)$ で、確かに相似。

答え: $\angle \mathrm{A}=\frac{4\pi }{7}$。