図形の性質の問題

1. $\angle A$ を求める

余弦定理より
$$\cos A=\frac{A{B}^2+C{A}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot CA}=\frac{25+64-49}{80}=\frac{1}{2}$$
なので $A=60^{\circ }$ である。

2. 座標を設定する

$A(0,0)$, $B(5,0)$ とし、$C$ を $y>0$ の側にとると
$$C(8\cos 60^{\circ },8\sin 60^{\circ })=(4,4\sqrt{3})$$
となる。確認すると $B{C}^2=(4-5{)}^2+(4\sqrt{3}{)}^2=1+48=49$ で、$BC=7$ を満たす。

3. 外心 $O$

辺 $AB$ の垂直二等分線は $x=\frac{5}{2}$ である。

辺 $AC$ の中点は $(2,2\sqrt{3})$ で、$\overrightarrow{AC}=(4,4\sqrt{3})$ は $(1,\sqrt{3})$ に平行である。よって $AC$ の垂直二等分線は
$$(x-2)+\sqrt{3}(y-2\sqrt{3})=0,\text{すなわち}x+\sqrt{3}y=8$$
である。ここに $x=\frac{5}{2}$ を代入すると $\sqrt{3}y=\frac{11}{2}$ より $y=\frac{11\sqrt{3}}{6}$。したがって
$$O\left(\frac{5}{2},\frac{11\sqrt{3}}{6}\right)$$

4. 垂心 $H$

$C$ から $AB$($x$ 軸)への垂線は $x=4$ である。

$B$ から $AC$ への垂線は、$B$ を通り $(1,\sqrt{3})$ に垂直な直線なので
$$(x-5)+\sqrt{3}y=0$$
である。$x=4$ を代入すると $\sqrt{3}y=1$ より $y=\frac{\sqrt{3}}{3}$。したがって
$$H\left(4,\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$

5. 内心 $I$

$△ABC$ の面積は
$$S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \sin 60^{\circ }=10\sqrt{3}$$
である。$s=\frac{5+7+8}{2}=10$ とおくと、内接円の半径は
$$r=\frac{S}{s}=\sqrt{3}$$
となる。

• $I$ と辺 $AB$($x$ 軸)との距離は $r$ なので、$I$ の $y$ 座標は $\sqrt{3}$ である。
• $I$ は $\angle A$ の二等分線、すなわち $x$ 軸と $30^{\circ }$ をなす直線 $y=\frac{x}{\sqrt{3}}$ 上にあるので、$x=3$ である。

したがって $I(3,\sqrt{3})$。

6. $△OIH$ の面積

$I$ を基準にすると
$$\overrightarrow{IO}=\left(-\frac{1}{2},\frac{5\sqrt{3}}{6}\right),\overrightarrow{IH}=\left(1,-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$$
である。よって
$$△OIH=\frac{1}{2}\left|\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)-\frac{5\sqrt{3}}{6}\cdot 1\right|=\frac{1}{2}\left|\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{5\sqrt{3}}{6}\right|=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$

(参考:$O{I}^2=I{H}^2=\frac{7}{3}$ となり、$OI=IH$ が成り立っている。)

答え:$\frac{\sqrt{3}}{4}$

$\cos A=\frac{5^2+8^2-7^2}{2\cdot 5\cdot 8}=\frac{1}{2}$ より $A=60^{\circ }$。座標を $A(0,0),B(5,0),C(4,4\sqrt{3})$ とおく（$AC=8$, $BC=\sqrt{1+48}=7$ で適合）。

内心：$I=\frac{7A+8B+5C}{20}=\left(\frac{40+20}{20},\frac{20\sqrt{3}}{20}\right)=(3,\sqrt{3})$。

外心：$x=\frac{5}{2}$、$OA=OC$ より $8\sqrt{3}y=64-8x=44$ なので $y=\frac{11\sqrt{3}}{6}$。よって $O=\left(\frac{5}{2},\frac{11\sqrt{3}}{6}\right)$。検算：$O{A}^2=\frac{25}{4}+\frac{121}{12}=\frac{49}{3}$ で $R=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{a}{2\sin A}$ と一致。

垂心：$H=A+B+C-2O=(9,4\sqrt{3})-\left(5,\frac{11\sqrt{3}}{3}\right)=\left(4,\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$。（$C$ からの高さの足が $x=4$ 上にあることと整合。）

$\overrightarrow{OI}=\left(\frac{1}{2},-\frac{5\sqrt{3}}{6}\right)$, $\overrightarrow{OH}=\left(\frac{3}{2},-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$。
外積 $=\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)-\left(-\frac{5\sqrt{3}}{6}\right)\cdot \frac{3}{2}=-\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{5\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

面積 $=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$。