において、、 とする。辺 の中点を 、 の重心を とするとき、線分 の長さを求めよ。
重心と外心
重心が中線を に内分すること、外心が を満たし となることを使って、長さ・角や外心の位置を求められる
前提
- 円周角の定理とその逆 （数学A 図形の性質）
- 正弦定理・余弦定理と三角形の面積 （数学I 図形と計量）
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説明
三角形の重心と外心という 2 つの特別な点の性質を使って、線分の長さや角の大きさを求められるようになります。重心は「3 本の中線の交点」で、各中線を頂点の側から に内分します。外心は「3 辺の垂直二等分線の交点」で、3 頂点から等距離にあり、外接円の中心になります。中線の長さから重心までの距離を出したり、外心を頂点とする角 を から求めたりする場面で使います。
なぜそうしてよいのか
【重心が に内分する理由】 で、辺 の中点を 、辺 の中点を とし、中線 と の交点を とします。中点連結定理から 、 です。平行線の錯角が等しいので と は相似で、相似比は 。よって です。同じ議論を中線 と、辺 の中点 を結ぶ中線 に使うと、 も を 側から に内分する点を通ります。 上でそのような点は しかないので、3 本の中線は 1 点 で交わり、どの中線も頂点側から に内分されます。この点 が重心です。
【外心の性質の理由】辺 の垂直二等分線上の点は , から等距離にあります。辺 と辺 の垂直二等分線の交点を とすると かつ なので 。したがって は辺 の垂直二等分線上にもあり、3 本の垂直二等分線は 1 点で交わります。この点 が外心で、 を中心とし半径 の円（外接円）が 3 頂点を通ります。
【 の理由と注意】外接円で見ると、 は弧 （ を含まない側）に対する円周角、その弧に対する中心角が なので、円周角の定理から中心角は円周角の 2 倍です。ただし を 未満の角として読むとき、 となるのは が鋭角のときです。 が鈍角なら中心角 は を超えるので 、 なら が直径となり、外心 は の中点です。外心は、鋭角三角形では内部、直角三角形では斜辺の中点、鈍角三角形では外部にあります。
手順
重心 を使うとき：まず頂点と向かいの辺の中点を結ぶ中線 を見つけ、 から 、 と長さを出す。
外心 を使うとき：（外接円の半径）を書き出し、 などが二等辺三角形であることを使う（例：底角 ）。
角を求めるとき： が鋭角なら 、鈍角なら とする。
直角三角形（）なら、外心は斜辺 の中点で、 とする。
半径 が必要なら、正弦定理 で求める。
例題
、 の直角三角形 がある。 の重心を とするとき、線分 の長さを求めよ。
例題の解答
辺 の中点を とすると、 は中線で、重心 は 上にある。
（手順 4） なので、 は外接円の直径であり、外心 は斜辺 の中点 と一致する。よって より
（手順 1）重心 は中線 を 側から に内分するので
よって 。
答え:
よくある誤り
と逆にしてしまう誤り。正しくは頂点側が長く で、中線 なら 、。
鈍角三角形でも としてしまう誤り。例えば のとき は ではなく、正しくは 。
外心も中線上にあると思い込み、 と を混同する誤り。外心は垂直二等分線の交点であり、一般には中線上にない（ が中線 上にあるのは のときなど特別な場合）。
二等辺三角形 の底角を求めるときに などとしてしまう誤り。 が鋭角なら なので、正しくは 。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。