図形の性質の問題

方針：重心 $\mathrm{G}$ は中線 $\mathrm{AD}$ 上にあり、$\mathrm{AD}$ を $2:1$ に内分します。そこで、まず中線 $\mathrm{AD}$ の長さを求めます。

中線 $\mathrm{AD}$ の長さ

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ の二等辺三角形では、頂点 $\mathrm{A}$ と底辺の中点 $\mathrm{D}$ を結ぶ線分は底辺に垂直です。よって $\angle \mathrm{ADB}=90^{\circ }$ です。

$\mathrm{BD}=\frac{6}{2}=3$ なので、直角三角形 $\mathrm{ABD}$ で三平方の定理より
$$\mathrm{AD}=\sqrt{{\mathrm{AB}}^2-{\mathrm{BD}}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$$

重心の性質を使う

$\mathrm{D}$ は辺 $\mathrm{BC}$ の中点なので $\mathrm{AD}$ は中線で、重心 $\mathrm{G}$ は $\mathrm{AD}$ 上にあって $\mathrm{AG}:\mathrm{GD}=2:1$ です。したがって
$$\mathrm{AG}=\frac{2}{2+1}\mathrm{AD}=\frac{2}{3}\times 4=\frac{8}{3}$$

答え：$\mathrm{AG}=\frac{8}{3}$

AB=AC なので三角形 ABC は二等辺三角形で、辺 BC の中点 D について AD ⊥ BC となる。BD=3 なので、三平方の定理より AD=√(5²−3²)=√16=4。重心 G は中線 AD を頂点 A から 2:1 に内分するから、AG=(2/3)AD=8/3。
検算：G は AD 上にあり GD=4/3。座標で B(−3,0), C(3,0), A(0,4) とおくと重心は (0,4/3)。AG=4−4/3=8/3 となり一致する。