図形の性質の問題

使う性質：$△\mathrm{ABC}$ で $\angle \mathrm{A}$ の外角の二等分線が直線 $\mathrm{BC}$ と点 $\mathrm{E}$ で交わるとき、点 $\mathrm{E}$ は辺 $\mathrm{BC}$ を $\mathrm{AB}:\mathrm{AC}$ に外分する。

ステップ 1：比を求める
$$\mathrm{BE}:\mathrm{EC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=9:6=3:2$$

ステップ 2：点 $\mathrm{E}$ の位置を確かめる
$\mathrm{AB}>\mathrm{AC}$ なので $\mathrm{BE}>\mathrm{EC}$ であり、点 $\mathrm{E}$ は辺 $\mathrm{BC}$ の $\mathrm{C}$ の側の延長上にある。したがって
$$\mathrm{BE}-\mathrm{EC}=\mathrm{BC}=5$$

ステップ 3：長さを求める
$\mathrm{BE}=3k$, $\mathrm{EC}=2k$ とおくと、$3k-2k=5$ より $k=5$。
よって
$$\mathrm{CE}=2k=10$$

（別の書き方：$\mathrm{CE}=\frac{2}{3-2}\times \mathrm{BC}=2\times 5=10$）

$\angle \mathrm{A}$ の外角の二等分線と直線 BC の交点 E について、外角の二等分線の定理より $\mathrm{EB}:\mathrm{EC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=9:6=3:2$ である。
$\mathrm{AB}>\mathrm{AC}$ なので、E は辺 BC の C 側の延長上にあり、$\mathrm{EB}=\mathrm{EC}+\mathrm{BC}=\mathrm{CE}+5$ となる。
$\mathrm{CE}=x$ とおくと $(x+5):x=3:2$ より $2(x+5)=3x$、したがって $x=10$。
検算：$\mathrm{EB}=15$, $\mathrm{EC}=10$ で、$15:10=3:2=9:6$ となり条件を満たす。