図形の性質の問題

$△\mathrm{ABC}$ と、3 辺 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$（の延長）, $\mathrm{CA}$ とそれぞれ点 $\mathrm{P}$, $\mathrm{R}$, $\mathrm{Q}$ で交わる直線 $\mathrm{PR}$ について、メネラウスの定理を使う。

頂点 $\mathrm{A}$ から出発して、$\mathrm{A}\to \mathrm{P}\to \mathrm{B}\to \mathrm{R}\to \mathrm{C}\to \mathrm{Q}\to \mathrm{A}$ と、頂点と交点を交互にたどると
$$\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}\cdot \frac{\mathrm{BR}}{\mathrm{RC}}\cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}=1$$
が成り立つ。

条件から $\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}=\frac{3}{2}$、$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=4:1$ より $\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}=\frac{1}{4}$ である（向きに注意して $\mathrm{C}$ から $\mathrm{A}$ の順に読む）。これらを代入すると
$$\frac{3}{2}\cdot \frac{\mathrm{BR}}{\mathrm{RC}}\cdot \frac{1}{4}=1$$
$$\frac{3}{8}\cdot \frac{\mathrm{BR}}{\mathrm{RC}}=1$$
よって
$$\frac{\mathrm{BR}}{\mathrm{RC}}=\frac{8}{3}$$
（$\mathrm{R}$ は $\mathrm{C}$ の側の延長上にあるので $\mathrm{BR}>\mathrm{RC}$ となり、結果と合っている。）

メネラウスの定理を三角形 ABC と直線 PQR に用いる。
$\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}\cdot \frac{\mathrm{BR}}{\mathrm{RC}}\cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}=1$
$\frac{3}{2}\cdot \frac{\mathrm{BR}}{\mathrm{RC}}\cdot \frac{1}{4}=1$
よって $\frac{3}{8}\cdot \frac{\mathrm{BR}}{\mathrm{RC}}=1$ より $\frac{\mathrm{BR}}{\mathrm{RC}}=\frac{8}{3}$。

検算（座標）：A=(0,0), B=(5,0), C=(0,5) とすると P=(3,0), Q=(0,4)。直線 PQ は $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$。直線 BC は $x+y=5$。連立すると $y=5-x$ を代入して $4x+3(5-x)=12$ より $x=-3$, $y=8$。R=(-3,8)。B から R へは x が $-8$、R から C へは x が $-3$ 変化するので BR:RC=8:3。C の側への延長上にあり、条件に合う。