ベクトルの問題

手順 1: 始点を A にそろえる

$\overrightarrow{\mathrm{PA}}=-\overrightarrow{\mathrm{AP}}$, $\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}}$, $\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ を等式に代入すると
$$-2\overrightarrow{\mathrm{AP}}+3(\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}})+(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}})=\vec{0}$$
$$-6\overrightarrow{\mathrm{AP}}+3\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{0}$$
よって
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{3\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{6}$$

手順 2: 内分点の形に直す

分子の係数の和 $3+1=4$ で割った形を作ると
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{4}{6}\cdot \frac{3\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{4}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{1+3}$$
ここで $\frac{3\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{1+3}$ は、辺 $\mathrm{BC}$ を $1:3$ に内分する点を表す。この点を $\mathrm{D}$ とすると $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ なので、点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AD}$ を $2:1$ に内分する点である。

手順 3: 面積比を求める

$△\mathrm{ABD}$ と $△\mathrm{ABC}$ は頂点 $\mathrm{A}$ からの高さが共通で、底辺の比は $\mathrm{BD}:\mathrm{BC}=1:4$ だから
$$△\mathrm{ABD}=\frac{1}{4}\times 12=3$$
$△\mathrm{PAB}$ と $△\mathrm{DAB}$ は頂点 $\mathrm{B}$ からの高さが共通で、底辺の比は $\mathrm{AP}:\mathrm{AD}=2:3$ だから
$$△\mathrm{PAB}=\frac{2}{3}\times 3=2$$

（参考: 一般に $△\mathrm{PBC}:△\mathrm{PCA}:△\mathrm{PAB}=2:3:1$ となり、$△\mathrm{PAB}=12\times \frac{1}{6}=2$ とも確かめられる。）

よって、$△\mathrm{PAB}$ の面積は $2$ である。

$2\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\vec{0}$ のとき、P を原点とする位置ベクトルで $2\vec{a}+3\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ となる。よって P の位置ベクトルは $\vec{p}=\frac{2\vec{a}+3\vec{b}+\vec{c}}{6}$ である。

一般に $\alpha \overrightarrow{PA}+\beta \overrightarrow{PB}+\gamma \overrightarrow{PC}=\vec{0}$（$\alpha ,\beta ,\gamma >0$）のとき、$△PBC:△PCA:△PAB=\alpha :\beta :\gamma$ である。

ここでは $\alpha =2,\beta =3,\gamma =1$ で、和は $6$。したがって
$△PAB=\frac{\gamma }{\alpha +\beta +\gamma }△ABC=\frac{1}{6}\cdot 12=2$。

検算：$\overrightarrow{AP}=\frac{3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{6}$ である（A を始点として $-2\cdot 0$ から $3(\vec{b}-\vec{p})$ などを整理）。$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ の係数のうち $\overrightarrow{AC}$ の係数 $\frac{1}{6}$ が、P から直線 AB までの距離と C から AB までの距離の比を表す。したがって $△PAB=\frac{1}{6}△ABC=2$。