ベクトルの問題

手順 1：始点を A にそろえる。

$\overrightarrow{\mathrm{PA}}=-\overrightarrow{\mathrm{AP}}$, $\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}}$, $\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ を与えられた等式に代入すると
$$-2\overrightarrow{\mathrm{AP}}+3(\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}})+4(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}})=\vec{0}$$
$$9\overrightarrow{\mathrm{AP}}=3\overrightarrow{\mathrm{AB}}+4\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{3\overrightarrow{\mathrm{AB}}+4\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{9}$$

手順 2：内分点の形に変形する。

係数の和 $3+4=7$ で割った形をつくると
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{7}{9}\cdot \frac{3\overrightarrow{\mathrm{AB}}+4\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{7}$$
ここで、辺 $\mathrm{BC}$ を $4:3$ に内分する点を $\mathrm{D}$ とすると $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{3\overrightarrow{\mathrm{AB}}+4\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{7}$ なので
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{7}{9}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$$
よって、点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AD}$ を $7:2$ に内分する点である。

手順 3：面積比を求める。

$△\mathrm{ADC}$ と $△\mathrm{ABC}$ は頂点 $\mathrm{A}$ からの高さが共通で、底辺の比は $\mathrm{DC}:\mathrm{BC}=3:7$ だから
$$△\mathrm{ADC}=\frac{3}{7}\times 27=\frac{81}{7}$$
$△\mathrm{PCA}$ と $△\mathrm{ADC}$ は頂点 $\mathrm{C}$ からの高さが共通で、底辺の比は $\mathrm{AP}:\mathrm{AD}=7:9$ だから
$$△\mathrm{PCA}=\frac{7}{9}\times \frac{81}{7}=9$$

（参考：同様にして $△\mathrm{PBC}:△\mathrm{PCA}:△\mathrm{PAB}=2:3:4$ となり、$27\times \frac{3}{9}=9$ とも確かめられる。）

答え：$9$

$2\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+4\overrightarrow{PC}=\vec{0}$ のとき、P は △ABC の内部にあり、点Pを基準とする重みの比から面積比は $△PBC:△PCA:△PAB=2:3:4$ となる（A の係数 2 が △PBC に、B の係数 3 が △PCA に、C の係数 4 が △PAB に対応する）。

確認：$\overrightarrow{AP}=\frac{3\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}}{9}$。実際、$-2\vec{p}$ などを位置ベクトルで書くと $2(\vec{a}-\vec{p})+3(\vec{b}-\vec{p})+4(\vec{c}-\vec{p})=0$ より $\vec{p}=\frac{2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}}{9}$。A を原点にすると $\overrightarrow{AP}=\frac{3}{9}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{9}\overrightarrow{AC}$。

△PCA の面積は、△ABC の面積に対して、点Pの B 方向の係数 $\frac{3}{9}$ 倍になる（△PCA = △ABC × (AB の係数)）。すなわち $27\times \frac{3}{9}=9$。

検算：△PAB = $27\times \frac{4}{9}=12$、△PBC = $27\times \frac{2}{9}=6$、△PCA = 9。合計 $6+9+12=27$。比は 6:9:12 = 2:3:4 で一致。