ベクトルの問題

手順 1：始点を A にそろえる。

$\overrightarrow{\mathrm{PA}}=-\overrightarrow{\mathrm{AP}}$, $\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}}$, $\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ を等式に代入すると
$$-2\overrightarrow{\mathrm{AP}}+3(\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}})+(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}})=\vec{0}$$
$$6\overrightarrow{\mathrm{AP}}=3\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{3\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{6}$$

手順 2：内分点の形に直す。

係数の和 $3+1=4$ で割った形をつくると
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{4}{6}\cdot \frac{3\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{1+3}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{1+3}$$
ここで $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{3\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{1+3}$ とおくと、点 $\mathrm{D}$ は辺 $\mathrm{BC}$ を $1:3$ に内分する点であり、$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ より、点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AD}$ を $2:1$ に内分する点である。

手順 3：面積比を求める。

$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=1:3$ なので、$△\mathrm{ADC}$ と $△\mathrm{ABC}$ は高さが共通で
$$△\mathrm{ADC}=\frac{3}{4}△\mathrm{ABC}=\frac{3}{4}\times 30=\frac{45}{2}$$
さらに $\mathrm{AP}:\mathrm{AD}=2:3$ なので、$△\mathrm{PCA}$ と $△\mathrm{ADC}$ は頂点 $\mathrm{C}$ からの高さが共通で
$$△\mathrm{PCA}=\frac{2}{3}△\mathrm{ADC}=\frac{2}{3}\times \frac{45}{2}=15$$

（参考：同様にして $△\mathrm{PBC}:△\mathrm{PCA}:△\mathrm{PAB}=2:3:1$ となり、$△\mathrm{PCA}=30\times \frac{3}{6}=15$ と確かめられる。）

よって、$△\mathrm{PCA}$ の面積は $15$ である。

$2\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\vec{0}$ のとき、点 $P$ は $△ABC$ の内部にあり、$△PBC:△PCA:△PAB=2:3:1$ である（$\overrightarrow{PA}$ の係数が $△PBC$ の面積に対応する）。

確認する。$P$ を原点とすると $2\vec{a}+3\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ より $\vec{c}=-2\vec{a}-3\vec{b}$。
$△PCA=\frac{1}{2}|\vec{c}\times \vec{a}|=\frac{1}{2}|-3\vec{b}\times \vec{a}|=\frac{3}{2}|\vec{a}\times \vec{b}|$ である。
$△PAB=\frac{1}{2}|\vec{a}\times \vec{b}|$ である。
$△PBC=\frac{1}{2}|\vec{b}\times \vec{c}|=\frac{1}{2}|-2\vec{b}\times \vec{a}|=|\vec{a}\times \vec{b}|$ である。

よって $△PBC:△PCA:△PAB=1:\frac{3}{2}:\frac{1}{2}=2:3:1$ となる。

合計は $6$ なので、$△PCA=30\times \frac{3}{6}=15$。

検算：$2+3+1=6$、面積はそれぞれ $10,15,5$ で合計 $30$ となり一致する。