ベクトルの問題

$\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$, $\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$, $\vec{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ とおく。

三角形 $\mathrm{OAB}$ の面積
$$△\mathrm{OAB}=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{4\cdot 9-2^2}=\frac{1}{2}\sqrt{32}=2\sqrt{2}$$

点 $\mathrm{P}$ の位置
$\overrightarrow{\mathrm{PO}}=-\vec{p}$, $\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\vec{a}-\vec{p}$, $\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\vec{b}-\vec{p}$ を条件式に代入すると
$$-2\vec{p}+3(\vec{a}-\vec{p})+4(\vec{b}-\vec{p})=\vec{0}$$
$$9\vec{p}=3\vec{a}+4\vec{b}$$
よって
$$\vec{p}=\frac{3\vec{a}+4\vec{b}}{9}=\frac{7}{9}\cdot \frac{3\vec{a}+4\vec{b}}{7}$$
ここで $\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{3\vec{a}+4\vec{b}}{7}$ とおくと、$\mathrm{D}$ は線分 $\mathrm{AB}$ を $4:3$ に内分する点であり、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{7}{9}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ より $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{OD}$ を $7:2$ に内分する点である。

三角形 $\mathrm{PAB}$ の面積
三角形 $\mathrm{PAB}$ と三角形 $\mathrm{OAB}$ は底辺 $\mathrm{AB}$ を共有し、直線 $\mathrm{AB}$ からの高さの比は $\mathrm{PD}:\mathrm{OD}=2:9$ である。したがって
$$△\mathrm{PAB}=\frac{2}{9}△\mathrm{OAB}=\frac{2}{9}\cdot 2\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{2}}{9}$$

$2\overrightarrow{PO}+3\overrightarrow{PA}+4\overrightarrow{PB}=\vec{0}$ より、$\vec{p}$ を $\overrightarrow{OP}$ として、$-2\vec{p}+3(\vec{a}-\vec{p})+4(\vec{b}-\vec{p})=\vec{0}$。よって $9\vec{p}=3\vec{a}+4\vec{b}$、すなわち $\overrightarrow{OP}=\frac{3\vec{a}+4\vec{b}}{9}$。

三角形 OAB の面積 $S$ は $S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{4\cdot 9-4}=\frac{1}{2}\sqrt{32}=2\sqrt{2}$。

点 P は、重み付き重心の関係から、O, A, B に対する重み 2, 3, 4（合計 9）の点である。三角形 PAB の面積は全体の面積の $\frac{2}{9}$ 倍（O の重みの割合）。実際、$\overrightarrow{OP}=\frac{3}{9}\vec{a}+\frac{4}{9}\vec{b}$ で、O に対応する係数は $1-\frac{7}{9}=\frac{2}{9}$ であり、これが $△PAB/△OAB$ に等しい。

よって $△PAB=\frac{2}{9}\cdot 2\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{2}}{9}$。

検算：$\overrightarrow{AP}=\frac{-6\vec{a}+4\vec{b}}{9}$, $\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$。外積の係数（$\vec{a}\times \vec{b}$ の係数）は $\frac{(-6)(1)-(4)(-1)\cdot (-1)\cdot (-1)}{9}$ を丁寧に計算すると、$\overrightarrow{AP}=(x,y)=(-\frac{6}{9},\frac{4}{9})$、$\overrightarrow{AB}=(-1,1)$ で $x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }=-\frac{6}{9}\cdot 1-\frac{4}{9}\cdot (-1)=-\frac{2}{9}$。面積は $\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{9}\cdot |\vec{a}\times \vec{b}|=\frac{2}{9}\cdot S$ となり一致する。