内積の計算法則と大きさの展開

$∣ a ∣$ , $∣ b ∣$ , $a \cdot b$ の値から、 $∣ p a + q b ∣^{2} = p^{2} ∣ a ∣^{2} + 2 pq a \cdot b + q^{2} ∣ b ∣^{2}$ と展開して、成分を使わずにベクトルの大きさ（線分の長さ）や内積の値を求められる

前提

内積となす角（数学C ベクトル）

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算数中学高校大学大学院

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内積となす角（数学C ベクトル）

説明

ベクトルの大きさ $∣ a ∣$ , $∣ b ∣$ と内積 $a \cdot b$ の値だけがわかっていれば、成分を使わずに $∣2 a + b ∣$ のような組み合わせたベクトルの大きさを求められます。考え方は、大きさを2乗して内積に直し、文字式と同じように展開することです。三角形や平行四辺形の辺・対角線の長さを求める問題や、内積の値を逆に求める問題でよく使います。

なぜそうしてよいのか

内積は成分で $a = (a_{1}, a_{2})$ , $b = (b_{1}, b_{2})$ のとき $a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ と計算できました。この式から、次の計算法則が成り立つことがわかります。 $c = (c_{1}, c_{2})$ , 実数 $k$ として、(1) $a \cdot b = b \cdot a$ （ $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = b_{1} a_{1} + b_{2} a_{2}$ だから）、(2) $a \cdot (b + c) = a_{1} (b_{1} + c_{1}) + a_{2} (b_{2} + c_{2}) = a \cdot b + a \cdot c$ 、(3) $(k a) \cdot b = k a_{1} b_{1} + k a_{2} b_{2} = k (a \cdot b)$ 、(4) $a \cdot a = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} = ∣ a ∣^{2}$ 。空間ベクトルでも成分が3つになるだけで同じように成り立ちます。

つまり内積は、数の掛け算と同じように「交換」「分配」「係数を前に出す」ができます。ただし $a \cdot a$ は数の2乗ではなく $∣ a ∣^{2}$ になる点が特徴です。

これを使うと $∣ p a + q b ∣^{2} = (p a + q b) \cdot (p a + q b) = p^{2} a \cdot a + pq a \cdot b + q p b \cdot a + q^{2} b \cdot b = p^{2} ∣ a ∣^{2} + 2 pq a \cdot b + q^{2} ∣ b ∣^{2}$ となります。 $(p x + q y)^{2} = p^{2} x^{2} + 2 pq x y + q^{2} y^{2}$ とそっくりの形なので、展開の公式のように使えます。右辺には $∣ a ∣$ , $∣ b ∣$ , $a \cdot b$ しか出てこないので、成分がわからなくても値が決まるのです。

手順

求めたい大きさを2乗して内積で書く: $∣ p a + q b ∣^{2} = (p a + q b) \cdot (p a + q b)$
計算法則で展開する: $p^{2} ∣ a ∣^{2} + 2 pq a \cdot b + q^{2} ∣ b ∣^{2}$
与えられた $∣ a ∣$ , $∣ b ∣$ , $a \cdot b$ の値を代入して計算する
大きさは $0$ 以上なので、正の平方根をとって $∣ p a + q b ∣$ を求める

例題

$∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 3$ , $a \cdot b = - 1$ のとき、 $∣2 a + b ∣$ を求めよ。

例題の解答

手順1: $∣2 a + b ∣^{2} = (2 a + b) \cdot (2 a + b)$ と書く。
手順2: 展開すると $4∣ a ∣^{2} + 4 a \cdot b + ∣ b ∣^{2}$ （ $p = 2$ , $q = 1$ なので $2 pq = 4$ ）。
手順3: 値を代入して $4 \times 2^{2} + 4 \times (- 1) + 3^{2} = 16 - 4 + 9 = 21$ 。
手順4: $∣2 a + b ∣ ≧ 0$ なので $∣2 a + b ∣ = 21$ 。

答え: $21$

よくある誤り

$∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ としてしまう誤り。向きが違うと成り立たない。正しくは $∣ a + b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + 2 a \cdot b + ∣ b ∣^{2}$ を計算してから平方根をとる。
係数を2乗し忘れて $∣2 a ∣^{2} = 2∣ a ∣^{2}$ としてしまう誤り。正しくは $∣2 a ∣^{2} = (2 a) \cdot (2 a) = 4∣ a ∣^{2}$ 。
真ん中の項の $2$ を落として $∣ a + b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + a \cdot b + ∣ b ∣^{2}$ としてしまう誤り。 $a \cdot b$ と $b \cdot a$ の2つが出るので、正しくは $2 a \cdot b$ 。
2乗した値をそのまま答えてしまう誤り。例題では $∣2 a + b ∣^{2} = 21$ なので、答えは $21$ ではなく $21$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ベクトルの大きさの最小値（数学C ベクトル）
垂線の足の位置ベクトル（数学C ベクトル）
理想鎖の平均二乗末端間距離（大学化学高分子化学）