ベクトルの問題

まず必要な内積と大きさを求める。
$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 3+2\cdot (-1)=1,|\vec{a}{|}^2=1^2+2^2=5,|\vec{b}{|}^2=3^2+(-1{)}^2=10$$

これより
$$\vec{p}\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2+t\vec{a}\cdot \vec{b}=5+t$$
$$|\vec{p}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2t\vec{a}\cdot \vec{b}+t^2|\vec{b}{|}^2=10t^2+2t+5$$
である。$10t^2+2t+5=10{\left(t+\frac{1}{10}\right)}^2+\frac{49}{10}>0$ より $\vec{p}\ne \vec{0}$ である。

$\vec{p}$ と $\vec{a}$ のなす角が $\frac{\pi }{4}$ である条件は
$$\vec{p}\cdot \vec{a}=|\vec{p}||\vec{a}|\cos \frac{\pi }{4}$$
すなわち
$$5+t=\sqrt{10t^2+2t+5}\cdot \sqrt{5}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$$
である。$t>0$ より左辺 $5+t>0$ なので、両辺を 2 乗して得られる式と同値である。
$$(5+t{)}^2=\frac{5}{2}(10t^2+2t+5)$$
$$2(t^2+10t+25)=50t^2+10t+25$$
$$48t^2-10t-25=0$$
解の公式より
$$t=\frac{10\pm \sqrt{100+4\cdot 48\cdot 25}}{96}=\frac{10\pm \sqrt{4900}}{96}=\frac{10\pm 70}{96}$$
よって $t=\frac{5}{6}$ または $t=-\frac{5}{8}$。$t>0$ より $t=\frac{5}{6}$。

したがって
$$\vec{p}=(1,2)+\frac{5}{6}(3,-1)=\left(1+\frac{5}{2},2-\frac{5}{6}\right)=\left(\frac{7}{2},\frac{7}{6}\right)$$

(確認) $\vec{p}\cdot \vec{a}=\frac{7}{2}+\frac{7}{3}=\frac{35}{6}$, $|\vec{p}|=\frac{7}{6}\sqrt{3^2+1^2}=\frac{7\sqrt{10}}{6}$ より
$$\cos \theta =\frac{35/6}{\frac{7\sqrt{10}}{6}\cdot \sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
となり、なす角は $\frac{\pi }{4}$ である。

答え: $\left(\frac{7}{2},\frac{7}{6}\right)$

$\vec{p}=(1+3t,2-t)$ である。
$\vec{a}\cdot \vec{p}=(1+3t)+2(2-t)=5+t$、$|\vec{a}|=\sqrt{5}$、$|\vec{p}{|}^2=(1+3t{)}^2+(2-t{)}^2=10t^2+2t+5$。
角が $\pi /4$ なので $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{5+t}{\sqrt{5}\sqrt{10t^2+2t+5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。
両辺を 2 乗して $2(5+t{)}^2=5(10t^2+2t+5)$ とすると、$48t^2-10t-25=0$。
これを解くと $t=\frac{10\pm 70}{96}$、すなわち $t=\frac{5}{6},-\frac{5}{8}$。
$t>0$ より $t=\frac{5}{6}$。このとき $5+t>0$ で、cos が正という条件も満たす。
$\vec{p}=\left(1+\frac{5}{2},2-\frac{5}{6}\right)=\left(\frac{7}{2},\frac{7}{6}\right)$。
検算: $\vec{a}\cdot \vec{p}=\frac{35}{6}$、$|\vec{p}|=\frac{7\sqrt{10}}{6}$ で、$|\vec{a}||\vec{p}|=\frac{35\sqrt{2}}{6}$。よって $\cos =\frac{1}{\sqrt{2}}$ となり成立する。