ベクトルの問題

$|\vec{p}|=|\vec{q}|=1$ より、実数 $t,s$ を用いて
$$\vec{p}=(\cos t,\sin t),\vec{q}=(\cos s,\sin s)$$
と表せる。このとき $\vec{p}\cdot \vec{q}=\cos t\cos s+\sin t\sin s=\cos (t-s)$ であるから、条件は $\cos (t-s)=\frac{1}{2}$ である。

次に
$$\vec{p}\cdot \vec{a}=3\cos t+\sin t,\vec{q}\cdot \vec{b}=\cos s+2\sin s$$
より
$$F=(\vec{p}\cdot \vec{a})(\vec{q}\cdot \vec{b})=3\cos t\cos s+6\cos t\sin s+\sin t\cos s+2\sin t\sin s.$$
積和の公式
$$\cos t\cos s=\frac{1}{2}\{\cos (t+s)+\cos (t-s)\},\sin t\sin s=\frac{1}{2}\{\cos (t-s)-\cos (t+s)\},$$
$$\cos t\sin s=\frac{1}{2}\{\sin (t+s)-\sin (t-s)\},\sin t\cos s=\frac{1}{2}\{\sin (t+s)+\sin (t-s)\}$$
を用いて整理すると、$\cos (t+s)$ の係数は $\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$、$\cos (t-s)$ の係数は $\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$、$\sin (t+s)$ の係数は $3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$、$\sin (t-s)$ の係数は $-3+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$ となるので
$$F=\frac{1}{2}\cos (t+s)+\frac{7}{2}\sin (t+s)+\frac{5}{2}\{\cos (t-s)-\sin (t-s)\}.$$

ここで $u=t+s$, $d=t-s$ とおく。条件 $\cos d=\frac{1}{2}$ より $\sin d=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ である。また $t=\frac{u+d}{2}$, $s=\frac{u-d}{2}$ と戻せるので、$d$ を条件を満たすように選んだうえで $u$ は任意の実数をとれる（$u$ と $d$ は独立に動ける）。

(i) $u$ を含む部分：合成により
$$\frac{1}{2}\cos u+\frac{7}{2}\sin u=\frac{\sqrt{1+49}}{2}\sin (u+\gamma )=\frac{5\sqrt{2}}{2}\sin (u+\gamma )$$
（$\gamma$ は定数）であり、その最大値は $\frac{5\sqrt{2}}{2}$ である。

(ii) $d$ を含む部分：$\frac{5}{2}(\cos d-\sin d)=\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}\mp \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ であり、大きいのは $\sin d=-\frac{\sqrt{3}}{2}$（例えば $d=-\frac{\pi }{3}$）のときで、値は $\frac{5(1+\sqrt{3})}{4}$ である。

(i), (ii) の最大は独立に同時に実現できるので、$F$ の最大値は
$$\frac{5\sqrt{2}}{2}+\frac{5(1+\sqrt{3})}{4}=\frac{5+5\sqrt{3}+10\sqrt{2}}{4}.$$

$\vec{p}=(\cos \theta ,\sin \theta )$ とおく。$|\vec{q}|=1$、$\vec{p}\cdot \vec{q}=\frac{1}{2}$ より、$\vec{q}$ は $\vec{p}$ を $\pm \frac{\pi }{3}$ 回転したベクトルである。$\vec{q}=(\cos (\theta +\epsilon ),\sin (\theta +\epsilon ))$、$\epsilon =\pm \frac{\pi }{3}$ とおく。

$\vec{a}=\sqrt{10}(\cos \alpha ,\sin \alpha )$（$\tan \alpha =\frac{1}{3}$）、$\vec{b}=\sqrt{5}(\cos \beta ,\sin \beta )$（$\tan \beta =2$）とすると、
$(\vec{p}\cdot \vec{a})(\vec{q}\cdot \vec{b})=5\sqrt{2}\cos (\theta -\alpha )\cos (\theta +\epsilon -\beta )$。

積和の公式より、これは $\frac{5\sqrt{2}}{2}\{\cos (2\theta +\epsilon -\alpha -\beta )+\cos (\beta -\alpha -\epsilon )\}$ となる。

$\theta$ を動かすと第1項の最大値は 1。また $\tan (\beta -\alpha )=\frac{2-1/3}{1+2/3}=1$ より $\beta -\alpha =\frac{\pi }{4}$。

$\epsilon =\frac{\pi }{3}$ のとき $\cos (\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{3})=\cos \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。
$\epsilon =-\frac{\pi }{3}$ のとき $\cos \frac{7\pi }{12}<0$ なので小さい。

よって最大値は
$\frac{5\sqrt{2}}{2}\left(1+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{5\sqrt{2}}{2}+\frac{5(\sqrt{3}+1)}{4}=\frac{10\sqrt{2}+5\sqrt{3}+5}{4}$。

検算：数値は約 6.95 で、上界 $5\sqrt{2}\cdot \frac{1+0.966}{2}\approx 6.95$ と一致する。