ベクトルの問題

大きさ $|\vec{a}+2\vec{b}|$ は直接は求めにくいので、2 乗して内積の計算法則で展開します。

手順 1：2 乗を内積で表す

ベクトル $\vec{p}$ について $|\vec{p}{|}^2=\vec{p}\cdot \vec{p}$ なので
$$|\vec{a}+2\vec{b}{|}^2=(\vec{a}+2\vec{b})\cdot (\vec{a}+2\vec{b})$$

手順 2：分配法則で展開する

$$(\vec{a}+2\vec{b})\cdot (\vec{a}+2\vec{b})=\vec{a}\cdot \vec{a}+2\vec{a}\cdot \vec{b}+2\vec{b}\cdot \vec{a}+4\vec{b}\cdot \vec{b}$$
$\vec{b}\cdot \vec{a}=\vec{a}\cdot \vec{b}$、$\vec{a}\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2$、$\vec{b}\cdot \vec{b}=|\vec{b}{|}^2$ を使うと
$$|\vec{a}+2\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+4\vec{a}\cdot \vec{b}+4|\vec{b}{|}^2$$
これは公式 $|p\vec{a}+q\vec{b}{|}^2=p^2|\vec{a}{|}^2+2pq\vec{a}\cdot \vec{b}+q^2|\vec{b}{|}^2$ で $p=1$, $q=2$ とした式です。

手順 3：値を代入する

$$|\vec{a}+2\vec{b}{|}^2=3^2+4\times (-2)+4\times 2^2=9-8+16=17$$

手順 4：平方根をとる

$|\vec{a}+2\vec{b}|\ge 0$ なので
$$|\vec{a}+2\vec{b}|=\sqrt{17}$$

$|\vec{a}+2\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+4\vec{a}\cdot \vec{b}+4|\vec{b}{|}^2=9+4(-2)+4\cdot 4=9-8+16=17$。よって $|\vec{a}+2\vec{b}|=\sqrt{17}$（長さは 0 以上なので正の平方根）。検算：$\vec{a}=(3,0)$ とおくと、$\vec{b}=(-2/3,y)$、$|\vec{b}{|}^2=4/9+y^2=4$ より $y^2=32/9$。$\vec{a}+2\vec{b}=(3-4/3,2y)=(5/3,2y)$、その大きさの2乗は $25/9+4\cdot 32/9=25/9+128/9=153/9=17$。一致する。