ベクトルの問題

大きさは、そのまま扱うより 2 乗して内積で表すと計算できます。

手順 1：2 乗して内積の形にする

ベクトルの大きさの 2 乗は、自分自身との内積です。
$$|3\vec{a}+\vec{b}{|}^2=(3\vec{a}+\vec{b})\cdot (3\vec{a}+\vec{b})$$

手順 2：内積の計算法則で展開する

内積では、分配法則と交換法則 $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$ が成り立ちます。また $\vec{a}\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2$ です。これらを使うと、文字式の展開と同じように計算できます。
$$\begin{array}{rl}(3\vec{a}+\vec{b})\cdot (3\vec{a}+\vec{b})& =9\vec{a}\cdot \vec{a}+3\vec{a}\cdot \vec{b}+3\vec{b}\cdot \vec{a}+\vec{b}\cdot \vec{b}\\ & =9|\vec{a}{|}^2+6\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2\end{array}$$

手順 3：与えられた値を代入する

$|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$, $\vec{a}\cdot \vec{b}=-2$ を代入します。
$$|3\vec{a}+\vec{b}{|}^2=9\times 2^2+6\times (-2)+3^2=36-12+9=33$$

手順 4：大きさを求める

大きさは $0$ 以上なので、正の平方根をとります。
$$|3\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{33}$$

$|3\vec{a}+\vec{b}{|}^2=9|\vec{a}{|}^2+6\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2=9\cdot 4+6\cdot (-2)+9=36-12+9=33$。よって $|3\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{33}$。検算：$\cos \theta =-2/6=-1/3$ で、$|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta =6\cdot (-1/3)=-2$ となり内積と一致する。また $9\cdot 4=36$、$6\cdot (-2)=-12$、$|\vec{b}{|}^2=9$ なので合計は 33 で正しい。