ベクトルの問題

手順1：単位ベクトルを角で表す。
$|\vec{p}|=1$ なので、$\vec{p}$ は単位円周上の点を表すベクトルであり、実数 $\theta$ を用いて
$$\vec{p}=(\cos \theta ,\sin \theta )$$
と表せる。同様に $|\vec{q}|=1$ より $\vec{q}=(\cos \phi ,\sin \phi )$ と表せる。

手順2：内積の条件から $\vec{q}$ の角を決める。
加法定理より
$$\vec{p}\cdot \vec{q}=\cos \theta \cos \phi +\sin \theta \sin \phi =\cos (\phi -\theta )$$
これが $\frac{1}{2}$ なので、$\phi -\theta =\pm \frac{\pi }{3}+2n\pi$（$n$ は整数）。三角関数の値は $2\pi$ ごとに同じなので、
$$\vec{q}=\left(\cos \left(\theta \pm \frac{\pi }{3}\right),\sin \left(\theta \pm \frac{\pi }{3}\right)\right)(\text{複号同順})$$
としてよい。逆に、任意の実数 $\theta$ に対してこの $\vec{p}$, $\vec{q}$ は条件を満たすので、$\theta$ はすべての実数を動く。

手順3：$F$ を三角関数の式に直す。
$\vec{a}\cdot \vec{p}=1\cdot \cos \theta +0\cdot \sin \theta =\cos \theta$。
$\vec{a}\cdot \vec{q}=\cos \left(\theta \pm \frac{\pi }{3}\right)=\cos \theta \cos \frac{\pi }{3}\mp \sin \theta \sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\cos \theta \mp \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta$。
よって
$$F=2\cos \theta +\frac{1}{2}\cos \theta \mp \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta =\mp \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta +\frac{5}{2}\cos \theta$$

手順4：合成して最大・最小を求める。
$$\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{5}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{25}{4}}=\sqrt{7}$$
なので、複号のどちらの場合も、ある角 $\alpha$ を用いて
$$F=\sqrt{7}\sin (\theta +\alpha )$$
と表せる。$\theta$ はすべての実数を動くから $-1\le \sin (\theta +\alpha )\le 1$ の両端の値をとり、
$$-\sqrt{7}\le F\le \sqrt{7}$$
したがって、最大値 $\sqrt{7}$、最小値 $-\sqrt{7}$ である。

答え：$\left(\sqrt{7},-\sqrt{7}\right)$

$\vec{p}=(\cos \theta ,\sin \theta )$ とおく。$|\vec{q}|=1$ かつ $\vec{p}\cdot \vec{q}=\frac{1}{2}$ より、$\vec{p}$ と $\vec{q}$ のなす角は $\frac{\pi }{3}$ である。よって $\vec{q}=(\cos (\theta \pm \frac{\pi }{3}),\sin (\theta \pm \frac{\pi }{3}))$（複号同順）と書ける。

$\vec{a}=(1,0)$ なので $F=2\cos \theta +\cos (\theta \pm \frac{\pi }{3})$ となる。

加法定理より
$F=2\cos \theta +\frac{1}{2}\cos \theta \mp \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta =\frac{5}{2}\cos \theta \mp \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta$。

三角関数の合成により振幅は $\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{7}$ である。$\theta$ は任意の値をとれるので、どちらの符号でも $-\sqrt{7}\le F\le \sqrt{7}$ の全範囲をとる。

検算：$\vec{p}=\frac{1}{\sqrt{7}}(5/2,-\sqrt{3}/2)$ とすると $F=\frac{1}{\sqrt{7}}\cdot \left(\frac{25}{4}+\frac{3}{4}\right)=\sqrt{7}$ となり、最大値に一致する。

最大値 $\sqrt{7}$、最小値 $-\sqrt{7}$。