単位ベクトルの角による表示と内積の最大・最小

$∣ p ∣ = 1$ の条件を $p = (cos θ, sin θ)$ と表し、 $p \cdot q = \frac{1}{2}$ から $q$ の角を $θ \pm \frac{π}{3}$ と決めて、内積を含む式を三角関数の式に直し、加法定理・合成で最大値・最小値を求められる

前提

内積となす角（数学C ベクトル）
三角関数の合成（数学II 三角関数）

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算数中学高校大学大学院

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説明

大きさが $1$ のベクトル（単位ベクトル）を、角 $θ$ を 1 つだけ使って $(cos θ, sin θ)$ と表す技能です。さらに、単位ベクトル $p, q$ が $p \cdot q = \frac{1}{2}$ を満たすなら、 $q$ は $p$ の角を $\pm \frac{π}{3}$ だけ回した向きになります。これを使うと、内積を含む式が $θ$ だけの三角関数の式になり、加法定理と合成で最大値・最小値を求められます。ベクトルが動くときの内積の最大・最小を求める問題で使います。

なぜそうしてよいのか

成分が $(x, y)$ で $∣ p ∣ = 1$ のベクトルは $x^{2} + y^{2} = 1$ を満たすので、原点から見て単位円上の点を指しています。単位円による三角関数の定義から、単位円上の点は、 $x$ 軸の正の向きから測った角 $θ$ を使って $(cos θ, sin θ)$ と書けます。これで 2 つの文字 $x, y$ と条件 $x^{2} + y^{2} = 1$ を、条件なしで動く 1 つの文字 $θ$ に置きかえられます。

$q$ も単位ベクトルなら $q = (cos φ, sin φ)$ と書けます。成分で内積を計算し、加法定理を使うと $p \cdot q = cos θ cos φ + sin θ sin φ = cos (φ - θ)$ です。これが $\frac{1}{2}$ なら、 $φ - θ = \pm \frac{π}{3} + 2 nπ$ （ $n$ は整数）です。 $cos, sin$ は $2 π$ ごとに同じ値をとるので、 $2 nπ$ の分は成分に影響しません。したがって $q = (cos (θ \pm \frac{π}{3}), sin (θ \pm \frac{π}{3}))$ の 2 通りに決まります。図でいえば、 $p$ を左回りか右回りに $\frac{π}{3}$ 回したものが $q$ です。なす角 $\frac{π}{3}$ のとり方が 2 通りあるからです。

こうすると、内積を含む式は $θ$ の三角関数になります。加法定理で展開すると $a sin θ + b cos θ$ の形にまとまります。これを合成すると $r sin (θ + α)$ （ $r = a^{2} + b^{2}$ ）になります。 $θ$ がすべての角を動くなら $sin (θ + α)$ は $- 1$ から $1$ までのすべての値をとるので、最大値は $r$ 、最小値は $- r$ です。

手順

単位ベクトル $p$ を $p = (cos θ, sin θ)$ （ $0 \leq θ < 2 π$ ）と表す。
$q$ も単位ベクトルで $p \cdot q = \frac{1}{2}$ なら、 $cos (φ - θ) = \frac{1}{2}$ から $q = (cos (θ \pm \frac{π}{3}), sin (θ \pm \frac{π}{3}))$ の 2 通りに決める。
求めたい式を成分で計算し、加法定理で $cos (θ \pm \frac{π}{3}) = \frac{1}{2} cos θ \mp \frac{3}{2} sin θ$ 、 $sin (θ \pm \frac{π}{3}) = \frac{1}{2} sin θ \pm \frac{3}{2} cos θ$ （複号同順）と展開して $a sin θ + b cos θ$ の形にまとめる。
合成して $r sin (θ + α)$ （ $r = a^{2} + b^{2}$ ）とし、 $θ$ の動く範囲から最大値・最小値を読みとる。 $θ$ が $0 \leq θ < 2 π$ 全体を動くなら、最大値は $r$ 、最小値は $- r$ である。
$+$ の場合と $-$ の場合の結果を比べて、全体の最大値・最小値を決める。

例題

$a = (1, 0)$ とする。平面上のベクトル $p, q$ が $∣ p ∣ = ∣ q ∣ = 1$ , $p \cdot q = \frac{1}{2}$ を満たしながら動くとき、 $a \cdot (p + 2 q)$ の最大値を求めよ。

例題の解答

【手順1】 $p = (cos θ, sin θ)$ （ $0 \leq θ < 2 π$ ）とおく。
【手順2】 $q$ は単位ベクトルで $p \cdot q = \frac{1}{2}$ なので、 $q = (cos (θ \pm \frac{π}{3}), sin (θ \pm \frac{π}{3}))$ である。
【手順3】 $a = (1, 0)$ なので、 $a \cdot (p + 2 q)$ は $p + 2 q$ の $x$ 成分に等しく、 $cos θ + 2 cos (θ \pm \frac{π}{3})$ となる。
・ $+$ の場合： $cos θ + 2 (\frac{1}{2} cos θ - \frac{3}{2} sin θ) = - 3 sin θ + 2 cos θ$
・ $-$ の場合： $cos θ + 2 (\frac{1}{2} cos θ + \frac{3}{2} sin θ) = 3 sin θ + 2 cos θ$
【手順4】どちらも $r = (\pm 3)^{2} + 2^{2} = 7$ で合成できる。
・ $+$ の場合： $7 sin (θ + α)$ 。ここで $cos α = - \frac{3}{7}$ , $sin α = \frac{2}{7}$ である。
・ $-$ の場合： $7 sin (θ + β)$ 。ここで $cos β = \frac{3}{7}$ , $sin β = \frac{2}{7}$ である。
$θ$ は $0 \leq θ < 2 π$ 全体を動くので、 $θ + α$ や $θ + β$ が $\frac{π}{2}$ （に $2 π$ の整数倍を足した角）になる $θ$ がある。そのときどちらの場合も最大値 $7$ をとる。
【手順5】2 つの場合の最大値はどちらも $7$ なので、求める最大値は $7$ である。
（確認： $∣ p + 2 q ∣^{2} = 1 + 4 p \cdot q + 4 = 7$ より $∣ p + 2 q ∣ = 7$ で、単位ベクトル $a$ との内積は $7$ 以下になり、結果と一致する。）

答え: $7$

よくある誤り

$q$ を $θ + \frac{π}{3}$ の場合だけで考えてしまう誤り。正しくは $cos (φ - θ) = \frac{1}{2}$ から $φ = θ \pm \frac{π}{3}$ の 2 通りがあり、両方を調べる。例題では最大値が一致したが、たとえば $a \cdot p$ と $b \cdot q$ の積のように式が対称でなければ、2 つの場合で値が変わることがある。
$a sin θ + b cos θ$ の最大値を $a + b$ としてしまう誤り。正しくは合成して $a^{2} + b^{2} sin (θ + α)$ とし、最大値は $a^{2} + b^{2}$ である。例題では $- 3 + 2$ ではなく $7$ になる。
大きさが $1$ でないベクトルにも $(cos θ, sin θ)$ や「なす角 $\frac{π}{3}$ 」をそのまま使ってしまう誤り。正しくは $∣ q ∣ = 2$ なら $q = 2 (cos φ, sin φ)$ である。このとき $p \cdot q = \frac{1}{2}$ なら、なす角の余弦は $\frac{1/2}{1 \cdot 2} = \frac{1}{4}$ となり、角は $\frac{π}{3}$ ではない。
$θ$ の範囲に制限があるのに、最大値を $r$ としてしまう誤り。正しくは、 $θ + α$ の動く範囲で $sin (θ + α)$ のとる値を調べる。たとえば $0 \leq θ \leq \frac{π}{6}$ で $3 sin θ + cos θ = 2 sin (θ + \frac{π}{6})$ の最大値は $2 sin \frac{π}{3} = 3$ で、 $2$ ではない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
座標平面上に 2 つのベクトル $a = (3, 1)$ , $b = (1, 2)$ がある。平面上のベクトル $p$ , $q$ が
$∣ p ∣ = ∣ q ∣ = 1, p \cdot q = \frac{1}{2}$
を満たしながら動くとき、 $(p \cdot a) (q \cdot b)$ の最大値を求めよ。