ベクトルの問題

手順1：単位ベクトルを角で表す

$|\vec{p}|=1$ なので、$\vec{p}=(\cos \theta ,\sin \theta )$ $(0\le \theta <2\pi )$ と表せる。

手順2：内積から $\vec{q}$ の角を決める

$\vec{p}$ と $\vec{q}$ のなす角を $\phi$ $(0\le \phi \le \pi )$ とすると
$$\vec{p}\cdot \vec{q}=|\vec{p}||\vec{q}|\cos \phi =\cos \phi =\frac{1}{2}$$
より $\phi =\frac{\pi }{3}$。よって $\vec{q}$ は $\vec{p}$ を $\frac{\pi }{3}$ だけ回転した単位ベクトルで、
$$\vec{q}=\left(\cos \left(\theta \pm \frac{\pi }{3}\right),\sin \left(\theta \pm \frac{\pi }{3}\right)\right)$$
となる。式 $\vec{a}\cdot \vec{p}+\vec{a}\cdot \vec{q}$ は $\vec{p}$ と $\vec{q}$ を入れかえても変わらない。$\vec{q}$ の角が $\theta -\frac{\pi }{3}$ のときは、$\vec{q}$ の角を新たに $\theta$ とおき直すと $\vec{p}$ の角が $\theta +\frac{\pi }{3}$ になるので、とりうる値の範囲は同じである。したがって $\vec{q}=\left(\cos \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right),\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)\right)$ の場合を考えればよい。

手順3：加法定理で三角関数の式に直す

加法定理より
$$\cos \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\cos \theta -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta ,\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\sin \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta$$
である。
$$\vec{a}\cdot \vec{p}=2\cos \theta +\sin \theta$$
$$\vec{a}\cdot \vec{q}=2\left(\frac{1}{2}\cos \theta -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta \right)+\frac{1}{2}\sin \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta =\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cos \theta +\left(\frac{1}{2}-\sqrt{3}\right)\sin \theta$$
よって
$$\vec{a}\cdot \vec{p}+\vec{a}\cdot \vec{q}=\left(\frac{3}{2}-\sqrt{3}\right)\sin \theta +\left(3+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cos \theta$$

手順4：合成して最大・最小を求める

係数の 2 乗の和は
$${\left(\frac{3}{2}-\sqrt{3}\right)}^2+{\left(3+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\left(\frac{9}{4}-3\sqrt{3}+3\right)+\left(9+3\sqrt{3}+\frac{3}{4}\right)=15$$
なので、三角関数の合成により
$$\vec{a}\cdot \vec{p}+\vec{a}\cdot \vec{q}=\sqrt{15}\sin (\theta +\alpha )$$
ただし $\alpha$ は $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{15}}\left(\frac{3}{2}-\sqrt{3}\right)$, $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{15}}\left(3+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ を満たす角である。

$\theta$ は $0\le \theta <2\pi$ のすべての値をとるので、$\sin (\theta +\alpha )$ は $-1$ 以上 $1$ 以下のすべての値をとる。

したがって、最大値は $\sqrt{15}$、最小値は $-\sqrt{15}$ である。

$\vec{p}\cdot \vec{q}=\frac{1}{2}$ かつ $|\vec{p}|=|\vec{q}|=1$ より、$\vec{p}$ と $\vec{q}$ のなす角は $60^{\circ }$ である。

求める式は $\vec{a}\cdot (\vec{p}+\vec{q})$ と書ける。

$|\vec{p}+\vec{q}{|}^2=1+1+2\cdot \frac{1}{2}=3$ より、$|\vec{p}+\vec{q}|=\sqrt{3}$ である。

$\vec{p}$ と $\vec{q}$ がこの条件を満たしながら動くとき、$\vec{s}=\vec{p}+\vec{q}$ は大きさ $\sqrt{3}$ の任意の向きを取れる。これは、$\vec{p}$ を回転させれば $\vec{q}$ も同じ角だけ回転させて $60^{\circ }$ を保てるためである。

$|\vec{a}|=\sqrt{5}$ だから、$\vec{a}\cdot \vec{s}=\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}\cos \theta =\sqrt{15}\cos \theta$ となる。ここで $\theta$ は $\vec{a}$ と $\vec{s}$ のなす角である。

よって最大値は $\sqrt{15}$、最小値は $-\sqrt{15}$ である。

検算として、$\vec{s}=\sqrt{3}\vec{a}/\sqrt{5}$ のとき、$\vec{a}\cdot \vec{s}=\sqrt{3}\cdot 5/\sqrt{5}=\sqrt{15}$ となり一致する。

答え：最大値 $\sqrt{15}$、最小値 $-\sqrt{15}$。