ベクトルの問題

ベクトルの大きさは、そのまま足し算することはできません。そこで、大きさを 2 乗して内積の形にし、内積の計算法則で展開します。

手順 1：大きさの 2 乗を内積で表す

$|\vec{p}{|}^2=\vec{p}\cdot \vec{p}$ なので、
$$|\vec{a}+2\vec{b}{|}^2=(\vec{a}+2\vec{b})\cdot (\vec{a}+2\vec{b})$$

手順 2：分配法則で展開する

文字式の展開 $(x+2y{)}^2=x^2+4xy+4y^2$ と同じように展開できます（$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$ を使って項をまとめます）。
$$\begin{array}{rl}(\vec{a}+2\vec{b})\cdot (\vec{a}+2\vec{b})& =\vec{a}\cdot \vec{a}+2\vec{a}\cdot \vec{b}+2\vec{b}\cdot \vec{a}+4\vec{b}\cdot \vec{b}\\ & =|\vec{a}{|}^2+4\vec{a}\cdot \vec{b}+4|\vec{b}{|}^2\end{array}$$

手順 3：与えられた値を代入する

$|\vec{a}{|}^2=3^2=9$, $\vec{a}\cdot \vec{b}=-1$, $|\vec{b}{|}^2=2^2=4$ より、
$$|\vec{a}+2\vec{b}{|}^2=9+4\times (-1)+4\times 4=9-4+16=21$$

手順 4：平方根をとる

$|\vec{a}+2\vec{b}|\ge 0$ なので、
$$|\vec{a}+2\vec{b}|=\sqrt{21}$$

$|\vec{a}+2\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+4\vec{a}\cdot \vec{b}+4|\vec{b}{|}^2=9+4(-1)+4\cdot 4=9-4+16=21$ より、$|\vec{a}+2\vec{b}|=\sqrt{21}$。検算：$\cos \theta =-1/6$ となり $|\cos \theta |\le 1$ なので、このようなベクトルは存在する。また、$\vec{a}=(3,0)$、$\vec{b}=(-1/3,\sqrt{35}/3)$ とすると $\vec{a}\cdot \vec{b}=-1$、$|\vec{b}{|}^2=1/9+35/9=4$ で条件を満たす。$\vec{a}+2\vec{b}=(3-2/3,2\sqrt{35}/3)=(7/3,2\sqrt{35}/3)$ なので、$|\vec{a}+2\vec{b}{|}^2=49/9+140/9=189/9=21$。よって $\sqrt{21}$ で一致する。