ベクトルの問題

手順 1：$\vec{p}$ を角で表す。
$|\vec{p}|=1$ なので、$\vec{p}$ は単位円周上の点を表し、
$$\vec{p}=(\cos \theta ,\sin \theta )(0\le \theta <2\pi )$$
とおける。

手順 2：$\vec{q}$ の角を決める。
$\vec{p}$ と $\vec{q}$ のなす角を $\phi$ $(0\le \phi \le \pi )$ とすると
$$\vec{p}\cdot \vec{q}=|\vec{p}||\vec{q}|\cos \phi =\cos \phi =\frac{1}{2}$$
より $\phi =\frac{\pi }{3}$。よって $\vec{q}$ の角は $\theta +\frac{\pi }{3}$ または $\theta -\frac{\pi }{3}$ である。

求める式 $\vec{a}\cdot \vec{p}+\vec{a}\cdot \vec{q}$ は $\vec{p}$ と $\vec{q}$ を入れかえても変わらない。$\vec{q}$ の角が $\theta -\frac{\pi }{3}$ のときは、$\vec{q}$ の角を改めて $\theta$ とよべば $\vec{p}$ の角が $\theta +\frac{\pi }{3}$ となり、$\vec{p}$ と $\vec{q}$ の役割が入れかわるだけである。したがって
$$\vec{q}=\left(\cos \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right),\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)\right)$$
の場合だけ考えればよい。

手順 3：三角関数の式に直す。
$\vec{a}=(0,2)$ より
$$\vec{a}\cdot \vec{p}=2\sin \theta ,\vec{a}\cdot \vec{q}=2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$$
加法定理で
$$2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=2\left(\sin \theta \cos \frac{\pi }{3}+\cos \theta \sin \frac{\pi }{3}\right)=\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta$$
したがって
$$\vec{a}\cdot \vec{p}+\vec{a}\cdot \vec{q}=2\sin \theta +\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =3\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta$$

手順 4：合成する。
$\sqrt{3^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ であり、$\cos \alpha =\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$ となる $\alpha =\frac{\pi }{6}$ を用いて
$$3\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =2\sqrt{3}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)$$

手順 5：最大・最小を求める。
$0\le \theta <2\pi$ より $\frac{\pi }{6}\le \theta +\frac{\pi }{6}<\frac{13}{6}\pi$ なので、$-1\le \sin \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)\le 1$ の両端の値をとる。
- $\theta +\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$、すなわち $\theta =\frac{\pi }{3}$ のとき最大値 $2\sqrt{3}$
- $\theta +\frac{\pi }{6}=\frac{3}{2}\pi$、すなわち $\theta =\frac{4}{3}\pi$ のとき最小値 $-2\sqrt{3}$

よって、最大値 $2\sqrt{3}$、最小値 $-2\sqrt{3}$ である。

$\vec{a}\cdot \vec{p}+\vec{a}\cdot \vec{q}=\vec{a}\cdot (\vec{p}+\vec{q})$ と変形する。
$|\vec{p}|=|\vec{q}|=1$、$\vec{p}\cdot \vec{q}=\frac{1}{2}$ より、$\vec{p}$ と $\vec{q}$ のなす角は $60^{\circ }$ である。
また $|\vec{p}+\vec{q}{|}^2=1+1+2\cdot \frac{1}{2}=3$ なので $|\vec{p}+\vec{q}|=\sqrt{3}$。
$\vec{p}$ を回転させると $\vec{p}+\vec{q}$ は半径 $\sqrt{3}$ の円周上のあらゆる向きをとる。したがって $\vec{p}+\vec{q}=(\sqrt{3}\cos \theta ,\sqrt{3}\sin \theta )$ とおける。
このとき $\vec{a}\cdot (\vec{p}+\vec{q})=2\sqrt{3}\sin \theta$ である。
$\theta$ は任意の値をとれるので、最大値は $2\sqrt{3}$、最小値は $-2\sqrt{3}$。
検算：$\vec{p}=(\cos 15^{\circ },\sin 15^{\circ }+...)$ のような具体例でなくても、$\vec{p}=(\cos (\phi -30^{\circ }),\sin (\phi -30^{\circ }))$、$\vec{q}=(\cos (\phi +30^{\circ }),\sin (\phi +30^{\circ }))$ とすると、和は $2\cos 30^{\circ }(\cos \phi ,\sin \phi )=\sqrt{3}(\cos \phi ,\sin \phi )$ で一致する。$\phi =90^{\circ }$ のとき $\vec{a}\cdot$和$=2\sqrt{3}$。