弧度法と単位円による三角関数

$\cos \left(-\frac{11}{4}\pi \right)$ の値を求めよ。

$\sin \frac{13}{4}\pi$ の値を求めよ。

$\cos \frac{17\pi }{6}$ の値を求めよ。

加法定理を用いて、$\cos \frac{7}{12}\pi$ の値を求めよ。

加法定理を用いて、$\cos \frac{7}{12}\pi$ の値を求めよ。

加法定理を用いて、$\cos \frac{7}{12}\pi$ の値を求めよ。

関数 $$f(x)=3\sin x+2\cos x+\tan x$$ について、微分係数 $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)$ の値を求めよ。

関数 $f(x)=2\sin x+\tan x$ について、$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)$ の値を求めよ。

関数 $$f(x)=\sin x+2\cos x+\tan x$$ について、$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)$ の値を求めよ。

$i$ を虚数単位とする。複素数
$$z=2e^{\frac{2\pi }{3}i}$$
を、実数 $a,b$ を用いて $a+bi$ の形で表せ。

$i$ を虚数単位とする。オイラーの公式 $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$（$\theta$ は実数）を用いて、複素数 $e^{\frac{2\pi }{3}i}$ を $a+bi$（$a$, $b$ は実数）の形で表せ。

$i$ を虚数単位とする。オイラーの公式を用いて、複素数 $e^{\frac{3\pi }{4}i}$ を $a+bi$（$a$, $b$ は実数）の形で表せ。

$i$ を虚数単位とする。$(\sqrt{3}-i{)}^5$ を計算し、$a+bi$（$a,b$ は実数）の形で答えよ。

$i$ を虚数単位とする。複素数 $(\sqrt{3}-i{)}^5$ を計算し、$a+bi$（$a,b$ は実数）の形で求めよ。

座標平面上の線形変換 $f$ を「原点のまわりに正の向き（反時計回り）に $\frac{\pi }{2}$ だけ回転する変換」とし、線形変換 $g$ を「$x$ 座標を $2$ 倍、$y$ 座標を $3$ 倍する変換」とする。$f$ を行ったあとに $g$ を行う合成変換 $g\circ f$ を行列の積で表し、点 $(1,2)$ の $g\circ f$ による像の座標を求めよ。

座標平面上の線形変換 $f$, $g$ を次のように定める。

• $f$：原点を中心とする角 $\frac{\pi }{3}$ の回転（反時計回り）
• $g$：点 $(x,y)$ を点 $(3x,y)$ に移す変換（$x$ 軸方向に $3$ 倍する拡大）

合成変換 $g\circ f$（まず $f$、次に $g$ を行う変換）を表す行列を求め、それを用いて点 $(4,2)$ の $g\circ f$ による像の座標を求めよ。答えは座標の組 $(X,Y)$ の形で答えよ。

実対称行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}4& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 2\end{array}\right)$$
を考える。実数 $\theta$ が $0\le \theta <\pi$ を満たし、回転行列
$$P=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$
によって
$${}^{t}PAP=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$
が成り立つとき、$\theta$ の値を求めよ。

$a,b,c,d$ は定数で、$a>0$, $b>0$, $-\pi <c\leqq \pi$ とする。関数
$$f(x)=a\sin (bx+c)+d$$
について、次のことがわかっている。

• $f(x)$ の最大値は $5$、最小値は $-1$ である。
• $f(x)$ の正の周期のうち最小のものは $\frac{2}{3}\pi$ である。
• $f(0)=5$ である。

このとき、$f\left(\frac{\pi }{4}\right)$ の値を求めよ。

$0<\theta <\pi$ とし、$\cos \theta =-\frac{7}{25}$ とする。このとき、$\sin \left(\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{3}\right)$ の値を求めよ。

複素数 $z$ についての方程式
$$z^4=-8+8\sqrt{3}i$$
の解をすべて求めよ。ただし、解は $a+bi$（$a,b$ は実数）の形で答えよ。

$0\leqq x\leqq \frac{2}{3}\pi$ のとき、関数
$$y=2{\sin }^{2}x+2\cos x-1$$
の最小値を求めよ。

$\alpha$ は $\pi <\alpha <\frac{3}{2}\pi$ を満たす実数で、$\tan \alpha =\frac{4}{3}$ とする。このとき、
$$\tan \left(\frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{4}\right)$$
の値を求めよ。

平面上の領域
$$D=\{(x,y)\mid 1\le x^2+y^2\le 4,0\le y\le x\}$$
に対して、重積分
$$I={\iint }_D(x+y)dxdy$$
の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する両端固定の弦の波動方程式の初期値・境界値問題
$$u_{tt}=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),$$
$$u(x,0)={\sin }^{3}x,u_t(x,0)=\sin 2x(0\le x\le \pi )$$
の解 $u\in C^2([0,\pi ]\times [0,\infty ))$ について、$u\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right)$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1-|x|& (|x|\le 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array}$$
のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。$\hat{f}(\pi )$ の値を求めよ。

開ループ伝達関数が
$$L(s)=\frac{3(s+1)}{2s^2}$$
で与えられる単位負帰還系を考える。ゲイン交差角周波数 ${\omega }_{gc}>0$ を $|L(j{\omega }_{gc})|=1$ を満たす角周波数とし（$j$ は虚数単位）、位相余裕を
$$\mathrm{PM}=\pi +\angle L(j{\omega }_{gc})$$
で定める。ただし偏角 $\angle L(j\omega )$ は $\omega >0$ で連続になるように、$\omega \to +0$ で $-\pi$ に近づく値をとるものとする。位相余裕 $\mathrm{PM}$ を弧度法で求めよ。

次の無限級数の和 $S$ を求めよ。$$S=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\frac{1}{(3n+1{)}^3}-\frac{1}{(3n+2{)}^3}\right)$$ ただし $n$ は $0$ 以上の整数を動く。必要なら、$z\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{Z}$ に対して成り立つ部分分数展開 $$\pi \cot \pi z=\frac{1}{z}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2z}{z^2-n^2}$$ を用いてよい。答えは根号と円周率 $\pi$ を用いて表せ。

入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係が差分方程式
$$y[n]=\frac{1}{4}\left(x[n]+x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]\right)$$
で表される離散時間 FIR フィルタ（4 点移動平均フィルタ）がある（$n$ は整数）。このフィルタに、すべての整数 $n$ について定義された入力
$$x[n]=3+2\cos \left(\frac{\pi n}{3}\right)$$
を加える。伝達関数 $H(z)$ と周波数特性 $H(e^{j\omega })$ を用いて出力 $y[n]$ を求め、$n$ を整数全体で動かしたときの $y[n]$ の最大値を求めよ。答えは分数で表せ。

$0\leqq x\leqq \pi$ において、曲線 $y=\sin x$ と直線 $y=\frac{1}{2}$ で囲まれた部分を $D$ とする。$D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積 $V$ を求めよ。

$0\leqq x\leqq \frac{\pi }{3}$ の範囲において、2 曲線 $y=\sin 2x$ と $y=\sin x$ で囲まれた部分を $D$ とする。$D$ を $x$ 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。

$O$ を極とする極座標において、極方程式
$$r=4\cos \theta$$
で表される曲線 $C$ と、極方程式
$$r\cos \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)=2$$
で表される直線 $\ell$ がある。$C$ と $\ell$ の 2 つの交点を $A$, $B$ とするとき、三角形 $OAB$ の面積を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$$x+2\cos x=k(0\leqq x\leqq 2\pi )$$
が異なる実数解をちょうど $3$ 個もつような $k$ の値の範囲を求めよ。

関数 $$f(x)=e^{\cos x}\sin x(0\leqq x\leqq \pi )$$ の最大値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

$a$ を実数の定数とする。$0\leqq x\leqq \frac{7}{6}\pi$ において、関数
$$f(x)=\cos 2x+4a\sin x$$
の最大値が $3$ となるような $a$ の値をすべて求めよ。

関数 $$f(x)={\sin }^{3}x\cos x\left(0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}\right)$$ の最大値を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、初期値問題
$$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+2y=2u(t-\pi ),y(0)=0,y^{\prime }(0)=1$$
を満たすとする。ただし $u(t)$ は単位階段関数（ヘヴィサイド関数）で、$t<0$ のとき $u(t)=0$、$t\ge 0$ のとき $u(t)=1$ とする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求め、$y\left(\frac{3\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

$x$ 軸にそって張られたじゅうぶん長いひもを、$x$ 軸の正の向きに正弦波が速さ $2.0m/s$ で伝わっている。原点 $\mathrm{O}$（$x=0$）でのひもの変位 $y$ [m] は、時刻 $t$ [s] を用いて
$$y=0.050\sin \left(\frac{2\pi }{0.40}t\right)$$
と表される。変位は $y$ 軸の正の向き（$x$ 軸に垂直な向き）を正とし、波は減衰しないものとする。

時刻 $t=0.50\mathrm{s}$ における、位置 $x=0.30\mathrm{m}$ のひもの変位 $y$ は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ 上の関数 $d:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を
$$d(x,y)=\left|\arctan x-\arctan y\right|(x,y\in \mathbb{R})$$
で定めると、$(\mathbb{R},d)$ は距離空間になる。ここで $\arctan$ は値域を $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ とする逆正接関数である。

この距離空間における、中心 $\sqrt{3}$、半径 $\frac{5\pi }{12}$ の開球
$$B\left(\sqrt{3},\frac{5\pi }{12}\right)=\left\{x\in \mathbb{R}|d\left(x,\sqrt{3}\right)<\frac{5\pi }{12}\right\}$$
を、$\mathbb{R}$ の区間として求めよ。

$a>0$ を定数とし、円柱面 $Z=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:x^2+y^2=a^2\}$ を考える。$I\subset \mathbb{R}$ を開区間、$\gamma =({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3):I\to {\mathbb{R}}^3$ を弧長でパラメータ付けられた（すべての $s$ で $|{\gamma }^{\prime }(s)|=1$ の）$C^{\infty }$ 級の曲線で、すべての $s\in I$ で $\gamma (s)\in Z$ を満たすものとし、その曲率を $\kappa (s)=|{\gamma }^{\prime \prime }(s)|$ とする。

なお、$C^{\infty }$ 級の写像 $\sigma :I\to {\mathbb{R}}^2$ がすべての $s$ で $|\sigma (s)|=a$ を満たすならば、$C^{\infty }$ 級の関数 $\theta :I\to \mathbb{R}$ があって $\sigma (s)=(a\cos \theta (s),a\sin \theta (s))$ と書けることは用いてよい。

次の 2 つを証明せよ。
- すべての $s\in I$ で $\kappa (s)\ge \frac{1-{\gamma }_3^{\prime }(s{)}^2}{a}$ が成り立つ。
- この不等式の等号がすべての $s\in I$ で成り立つための必要十分条件は、${\omega }^2{a}^2+c^2=1$ を満たす実数の定数 $c,\omega$ と実数の定数 $\phi ,d$ があって、すべての $s\in I$ で
$$\gamma (s)=(a\cos (\omega s+\phi ),a\sin (\omega s+\phi ),cs+d)$$
と書けることである。

外接円の半径が $1$ で、$\angle A=\frac{\pi }{3}$ である鋭角三角形 $\mathrm{ABC}$ を考える。このとき、$\mathrm{AB}+2\mathrm{AC}$ のとりうる値の範囲を求めよ。

$x$ は $0<x<\frac{\pi }{2}$ を満たす実数で、$\tan 2x$ と $\tan 3x$ がともに定義されるものとする。$x$ が
$$\tan x+\tan 2x+\tan 3x=0$$
を満たすとき、$\cos 2x$ のとりうる値をすべて求めよ。

座標平面上で、原点 $\mathrm{O}$ を中心とし、$x$ 軸の正の部分を始線とする。$n$ を $1\leqq n\leqq 30$ を満たす整数とし、弧度法で表した角 $n$（すなわち $n$ ラジアン）の動径を考える。この動径が第 $4$ 象限にあるような $n$ の個数を求めよ。

ただし、円周率 $\pi$ について $3.141<\pi <3.142$ が成り立つことを用いてよい。また、動径が座標軸上にあるときは、どの象限にもないものとする。

座標平面上で、原点 $\mathrm{O}$ を極、$x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r,\theta )$ を考える。極方程式
$$r=\frac{8}{3+2\cos \theta }$$
で表される曲線を $C$ とする。$\mathrm{O}$ を通り互いに垂直な 2 直線 ${\ell }_1$, ${\ell }_2$ をとり、${\ell }_1$ と $C$ の 2 つの交点を $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$、${\ell }_2$ と $C$ の 2 つの交点を $\mathrm{R}$, $\mathrm{S}$ とする。${\ell }_1$, ${\ell }_2$ が互いに垂直であるという条件を保って動くとき、$\mathrm{PQ}+\mathrm{RS}$ の最小値を求めよ。

正の整数 $n$ に対して
$$P_n=\prod _{k=1}^n\left(3-4{\sin }^2\frac{k\pi }{2n+1}\right)$$
とする。$1\leqq n\leqq 100$ を満たす整数 $n$ のうち、$P_n=-1$ となるものの個数を求めよ。

$N=10$ とし、${\mathbb{C}}^N$ の元の添字は $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ の元とみなす（$x_{n+N}=x_n$）。$x,y\in {\mathbb{C}}^N$ の巡回畳み込みを
$$(x\ast y{)}_n=\sum _{m=0}^{N-1}{x}_m{y}_{n-m}(n=0,1,\dots ,N-1)$$
で定める。$a\in {\mathbb{C}}^N$ を
$$a_0=3,a_1=a_{N-1}=1,a_n=0(2\le n\le N-2)$$
で定め、$e\in {\mathbb{C}}^N$ を $e_0=1,e_n=0(1\le n\le N-1)$ で定める。方程式 $a\ast x=e$ はただ一つの解 $x\in {\mathbb{C}}^N$ をもつ。その成分 $x_0$ の値を求めよ。

$\theta$ は $0\leqq \theta <2\pi$ を満たす実数とする。座標平面において、原点を中心とし $x$ 軸の正の部分を始線とする。次の $2$ つの条件をともに満たす $\theta$ をすべて求めよ。

$(1)$ 角 $5\theta$ の動径は、角 $2\theta$ の動径と $y$ 軸に関して対称である。

$(2)$ 角 $3\theta$ の動径は第4象限にある（座標軸上にはない）。

実数 $\theta$ が
$$\sin \theta +\sin 2\theta +\sin 3\theta =\cos \theta +\cos 2\theta +\cos 3\theta$$
を満たすとき、$\tan \theta$ のとりうる値をすべて求めよ。

無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\sin \frac{n\pi }{3}$$
は収束する。その和を求めよ。

次の無限級数の和を求めよ。
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{2^n}\cos \frac{2n\pi }{3}$$
ただし、必要ならば $0<x<1$ のとき $\underset{n\to \infty }{\lim }n{x}^n=0$ であることを用いてよい。

$k$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$$e^x\sin x=k(0\leqq x\leqq 3\pi )$$
が、異なる実数解をちょうど $2$ 個もつような $k$ の値の範囲を求めよ。

複素数平面上で、点 $\mathrm{P}(z)$ は原点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $1$ の円周上を動く。点 $\mathrm{A}(3)$ を点 $\mathrm{P}$ を中心として反時計回りに $\frac{\pi }{3}$ だけ回転した点を $\mathrm{Q}(w)$ とする。3 点 $\mathrm{O},\mathrm{P},\mathrm{Q}$ が三角形をつくるとき、三角形 $\mathrm{OPQ}$ の面積の最大値を求めよ。

実数 $\theta$ は $0\leqq \theta <2\pi$ を満たすとし、$z=\cos \theta +i\sin \theta$ とおく。ただし $i$ は虚数単位である。
$$w=z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$$
が正の実数となるような $\theta$ をすべて求めよ。

座標平面上の曲線 $C$ を、媒介変数 $t$ を用いて
$$x=\sin t,y=\sin 2t\left(0\leqq t\leqq \frac{\pi }{2}\right)$$
で定める。曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた図形を $D$ とする。$D$ を $y$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積 $V$ を求めよ。

座標平面上で、原点 $\mathrm{O}$ を極、$x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r,\theta )$ を考える。極方程式
$$r=\frac{3}{2+\cos \theta }$$
で表される曲線を $C$ とする。$\mathrm{O}$ を通る互いに垂直な 2 本の直線が、それぞれ $C$ と 2 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ および 2 点 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ で交わるとする。2 本の直線の向きが変わるとき、$\mathrm{AB}+\mathrm{PQ}$ の最小値を求めよ。

$x$ は $0\leqq x<2\pi$ かつ $x\ne \pi$ を満たす実数とする。不等式
$$2\sin x-2\cos x-1\geqq \tan \frac{x}{2}$$
を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。

複素数 $z$ が
$$z+\frac{1}{z}=\sqrt{3}$$
を満たすとき、
$$S=\sum _{k=1}^{30}\left(z^k+\frac{1}{z^k}\right)$$
の値を求めよ。

次の和 $S$ の値を求めよ。 $$S=\sum _{k=0}^{10}(-3{)}^k{}_{20}{\mathrm{C}}_{2k}={}_{20}{\mathrm{C}}_0-3{}_{20}{\mathrm{C}}_2+9{}_{20}{\mathrm{C}}_4-\cdots +3^{10}{}_{20}{\mathrm{C}}_{20}$$

1 辺の長さが $6$ の正三角形 $\mathrm{ABC}$ がある。三角形 $\mathrm{ABC}$ の内接円を $C_0$ とする。

頂点 $\mathrm{A}$ について、次のように円 $D_1,D_2,D_3,\dots$ を順に定める。
- $D_1$ は、2 辺 $\mathrm{AB},\mathrm{AC}$ に接し、$C_0$ に外接する円のうち、$C_0$ と $\mathrm{A}$ の間にあるものとする。
- $k=1,2,3,\dots$ に対し、$D_{k+1}$ は、2 辺 $\mathrm{AB},\mathrm{AC}$ に接し、$D_k$ に外接する円のうち、$D_k$ と $\mathrm{A}$ の間にあるものとする。

頂点 $\mathrm{B},\mathrm{C}$ についても同様に円の列を定める。内接円 $C_0$ と、3 つの頂点それぞれについて定めた無限個の円すべての面積の総和を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}$ における関数
$$f(x)=a\sin x+\cos x$$
の最大値が最小値の $2$ 倍となるような $a$ の値をすべて求めよ。

$\theta$ は $0\leqq \theta <2\pi$ を満たす実数とする。座標平面上で、原点 $\mathrm{O}$ を中心とし、$x$ 軸の正の部分を始線とする。角 $\theta$、角 $3\theta$、角 $9\theta$ の $3$ つの動径が、いずれも $x$ 軸より上側の部分（原点を除き、$y>0$ の領域）にあるような $\theta$ の値の範囲を求めよ。

$X_1,X_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、それぞれ確率密度関数 $$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$ をもつもの（パラメータ $1$ の指数分布）とする。正の整数 $m$ に対して $S_m=X_1+X_2+\cdots +X_m$ とおく。極限 $$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(S_n>n\text{かつ}{S}_{4n}<4n\right)$$ を求めよ。

無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{4^n{\cos }^2\frac{\pi }{2^{n+1}}}=\frac{1}{4{\cos }^2\frac{\pi }{4}}+\frac{1}{16{\cos }^2\frac{\pi }{8}}+\frac{1}{64{\cos }^2\frac{\pi }{16}}+\cdots$$
は収束する。その和を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、$x\geqq 0$ で定義された関数 $$f(x)=e^x-a\cos x$$ を考える。ただし、$e$ は自然対数の底とする。$x\geqq 0$ のすべての実数 $x$ に対して $f^{\prime }(x)\geqq 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。

$f(x)=16x^5-20x^3+5x$ とする。$x$ についての方程式 $$f(f(x))=x$$ の実数解のうち、$x>\frac{1}{2}$ を満たすものの個数を求めよ。

楕円 $$C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$$ の焦点のうち、$x$ 座標が正であるものを $\mathrm{F}$ とする。$C$ 上の $5$ 点 ${\mathrm{P}}_1,{\mathrm{P}}_2,{\mathrm{P}}_3,{\mathrm{P}}_4,{\mathrm{P}}_5$ が、$\mathrm{F}$ のまわりに反時計回りにこの順に並び、 $$\angle {\mathrm{P}}_1\mathrm{F}{\mathrm{P}}_2=\angle {\mathrm{P}}_2\mathrm{F}{\mathrm{P}}_3=\angle {\mathrm{P}}_3\mathrm{F}{\mathrm{P}}_4=\angle {\mathrm{P}}_4\mathrm{F}{\mathrm{P}}_5=\angle {\mathrm{P}}_5\mathrm{F}{\mathrm{P}}_1=\frac{2\pi }{5}$$ を満たしている。このとき $$\sum _{k=1}^5\frac{1}{{\mathrm{FP}}_k^2}$$ の値を求めよ。

$0\leqq x\leqq \pi$ の範囲で、2 曲線 $y=\sin x$ と $y=\sin 2x$ ではさまれた部分を $D$ とする。$D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させるとき、$D$ が通過する点全体がつくる立体を $K$ とする。$D$ の一部は $x$ 軸の下側にあるので、$x$ 軸の上側の部分と下側の部分が回転して重なるところがあるが、重なった部分は $K$ の中で 1 回だけ数える（$K$ はそれぞれの部分を回転させてできる立体の和集合である）。$K$ の体積 $V$ を求めよ。

$f(x)=x^2-2$ とする。$x$ についての 8 次方程式 $$f(f(f(x)))=x$$ の実数解のうち、$f(x)=x$ を満たさないものの中で最大のものを求めよ。

$\theta$ は $0\leqq \theta <2\pi$ を満たす実数とする。座標平面上で、原点 $\mathrm{O}$ を中心とし $x$ 軸の正の部分を始線として、角 $k\theta$ の動径と単位円 $x^2+y^2=1$ との交点を ${\mathrm{P}}_k$ とする（$k=1,2,\dots ,12$）。12 個の点 ${\mathrm{P}}_1,{\mathrm{P}}_2,\dots ,{\mathrm{P}}_{12}$ からなる集合 $S$（一致する点は 1 つの点とみなす）が $y$ 軸に関して対称となる、すなわち $S$ のどの点についても、その点の $y$ 軸に関する対称点がまた $S$ に属するような $\theta$ の個数を求めよ。