フーリエ解析の問題

離散フーリエ変換による対角化. $\omega =e^{2\pi i/N}$ とし、$x\in {\mathbb{C}}^N$ の離散フーリエ変換を
$${\hat{x}}_k=\sum _{n=0}^{N-1}{x}_n{\omega }^{-nk}(k=0,1,\dots ,N-1)$$
で定める。逆変換は $x_n=\frac{1}{N}{\sum }_{k=0}^{N-1}{\hat{x}}_k{\omega }^{nk}$ である。添字を $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ で考えているので、畳み込み定理 ${\widehat{a\ast x}}_k={\hat{a}}_k{\hat{x}}_k$ が成り立つ。

ここで
$${\hat{a}}_k=3+{\omega }^{-k}+{\omega }^{-(N-1)k}=3+{\omega }^{-k}+{\omega }^k=3+2\cos \frac{2\pi k}{N}\ge 1>0$$
である。また ${\hat{e}}_k=1$ である。よって $a\ast x=e$ は ${\hat{a}}_k{\hat{x}}_k=1$ と同値であり、解は ${\hat{x}}_k=1/{\hat{a}}_k$ としてただ一つに定まる。逆変換の式で $n=0$ とおくと
$$x_0=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}\frac{1}{3+2\cos (2\pi k/N)}$$
となる。

和の計算（一般の $N$）. $r=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ とおく。$r$ は $r^2-3r+1=0$ の解なので $\frac{1+r^2}{r}=3$ であり、
$$3+2\cos \theta =\frac{1+2r\cos \theta +r^2}{r}$$
が成り立つ。ポアソン核の展開 $\sum _{m\in \mathbb{Z}}{\rho }^{|m|}{e}^{im\theta }=\frac{1-{\rho }^2}{1-2\rho \cos \theta +{\rho }^2}$（$|\rho |<1$）を $\rho =-r$ に用いる。$\frac{r}{1-r^2}=\frac{1}{1/r-r}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ であるから、
$$\frac{1}{3+2\cos \theta }=\frac{1}{\sqrt{5}}\sum _{m\in \mathbb{Z}}(-r{)}^{|m|}{e}^{im\theta }$$
を得る。

$\theta =2\pi k/N$ について $k=0,\dots ,N-1$ で平均をとる。$\frac{1}{N}{\sum }_k{e}^{2\pi imk/N}$ は $N\mid m$ のとき $1$、それ以外のとき $0$ である。したがって
$$x_0=\frac{1}{\sqrt{5}}(1+2\sum _{j\ge 1}(-r{)}^{jN})=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \frac{1+(-r{)}^N}{1-(-r{)}^N}.$$

黄金比を $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ とすると $r={\phi }^{-2}$ である。$N$ が偶数のとき
$$x_0=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \frac{{\phi }^N+{\phi }^{-N}}{{\phi }^N-{\phi }^{-N}}=\frac{L_N}{5F_N}$$
となる。ここで $F_N$ はフィボナッチ数、$L_N$ はリュカ数である（$N$ 偶数のとき ${\phi }^N+{\phi }^{-N}=L_N$、${\phi }^N-{\phi }^{-N}=\sqrt{5}{F}_N$）。$N=10$ では $L_{10}=123$、$F_{10}=55$ なので
$$x_0=\frac{123}{275}.$$

直接計算による確認. $c_k=\cos (2\pi k/10)$ とおくと、$c_0=1$、$c_5=-1$、$c_1=-c_4=\frac{\phi }{2}$、$c_2=-c_3=\frac{1}{2\phi }$ であり、$c_{10-k}=c_k$ である。$\frac{1}{3+2c}+\frac{1}{3-2c}=\frac{6}{9-4c^2}$ を用いる。
- $k=0,5$ の組：$\frac{6}{5}$
- $k=1,4$ の組：$\frac{6}{9-{\phi }^2}=\frac{6}{8-\phi }$（${\phi }^2=\phi +1$ による）
- $k=2,3$ の組：$\frac{6}{9-{\phi }^{-2}}=\frac{6}{7+\phi }$（${\phi }^{-2}=2-\phi$ による）

後の二つの和は
$$\frac{6}{8-\phi }+\frac{6}{7+\phi }=\frac{90}{56+\phi -{\phi }^2}=\frac{90}{55}=\frac{18}{11}$$
である。$k=6,\dots ,9$ は $k=4,\dots ,1$ と同じ値をとるので、和全体は
$$\frac{6}{5}+2\cdot \frac{18}{11}=\frac{246}{55}$$
となる。よって $x_0=\frac{1}{10}\cdot \frac{246}{55}=\frac{123}{275}$ であり、上の結果と一致する。

巡回畳み込みは離散フーリエ変換で積に変わるので、$\hat{a}(k)=3+2\cos (2\pi k/N)$ とおくと $x_0=\frac{1}{N}{\sum }_{k=0}^{N-1}\frac{1}{\hat{a}(k)}$ である。

$z=e^{i\theta }$ として、$r^2+3r+1=0$ の根 $r=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$ (|r|<1) をとる。すると $3+z+z^{-1}=\frac{(1-rz)(1-r/z)}{-r}$ となる。

ポアソン核の展開 $\frac{1}{(1-rz)(1-r/z)}=\frac{1}{1-r^2}{\sum }_{m\in \mathbb{Z}}{r}^{|m|}{z}^m$ を $N$ 次の1の冪根で平均すると、$m$ が $N$ の倍数の項だけが残る。よって
$$x_0=\frac{-r}{1-r^2}\cdot \frac{1+r^N}{1-r^N}.$$

$\frac{-r}{1-r^2}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ である。また $-r={\phi }^{-2}$（$\phi$ は黄金比）なので、$r^{10}={\phi }^{-20}$ となる。
$$\frac{1+{\phi }^{-20}}{1-{\phi }^{-20}}=\frac{{\phi }^{10}+{\phi }^{-10}}{{\phi }^{10}-{\phi }^{-10}}=\frac{L_{10}}{\sqrt{5}{F}_{10}}=\frac{123}{55\sqrt{5}}.$$

ゆえに $x_0=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \frac{123}{55\sqrt{5}}=\frac{123}{275}$。

検算：10項を数値計算して和をとると $4.47271$ となり、$1/10$ 倍すると $0.44727$。これは $123/275=0.44727$ と一致する。