ド・モアブルの定理

ド・モアブルの定理で $z^{n}$ を計算できる

前提

極形式と積・商（数学C 複素数平面）

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算数中学高校大学大学院

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極形式と積・商（数学C 複素数平面）

説明

ド・モアブルの定理を使うと、複素数の $n$ 乗 $z^{n}$ を、展開をくり返さずにまとめて計算できます。 $(3 + i)^{5}$ や $(1 - i)^{10}$ のような累乗は、そのまま展開すると手間がかかりますが、この定理なら手早く求められます。まず $z$ を極形式で表し、そのあと「絶対値を $n$ 乗し、偏角を $n$ 倍する」だけで答えが出ます。

なぜそうしてよいのか

前提の技能で学んだように、極形式の複素数どうしを掛けると「絶対値は掛け算、偏角は足し算」になります。 $z = r (cos θ + i sin θ)$ とすると
$z \cdot z = r \cdot r {cos (θ + θ) + i sin (θ + θ)} = r^{2} (cos 2 θ + i sin 2 θ)$
です。さらに $z$ を掛けると、絶対値はもう一度 $r$ 倍になり、偏角はもう一度 $θ$ 増えるので、 $z^{3} = r^{3} (cos 3 θ + i sin 3 θ)$ となります。これを同じようにくり返すと、正の整数 $n$ について
${r (cos θ + i sin θ)}^{n} = r^{n} (cos n θ + i sin n θ)$
が成り立ちます。特に $r = 1$ の場合の $(cos θ + i sin θ)^{n} = cos n θ + i sin n θ$ をド・モアブルの定理といいます。

$z \neq = 0$ （つまり $r > 0$ ）のときは、 $z^{0} = 1$ 、 $z^{- n} = \frac{1}{z ^{n}}$ と定めます。商の規則（絶対値は割り算、偏角は引き算）を使うと $\frac{1}{cos θ + i sin θ} = cos (- θ) + i sin (- θ)$ となります。このことから、上の式は $n = 0$ や負の整数 $n$ でも成り立ちます。つまり、 $n$ がどんな整数でも使えます。

図で考えると、 $cos θ + i sin θ$ を掛けることは「原点のまわりに角 $θ$ だけ回転すること」にあたります。それを $n$ 回くり返せば角 $n θ$ の回転になります。 $r$ 倍の拡大も $n$ 回くり返せば $r^{n}$ 倍です。これがこの定理の直観的な意味です。

手順

$z$ を極形式 $r (cos θ + i sin θ)$ に直す。 $z = a + bi$ なら $r = a^{2} + b^{2}$ とし、 $cos θ = \frac{a}{r}, sin θ = \frac{b}{r}$ をどちらも満たす $θ$ を求める。
ド・モアブルの定理を使い、 $z^{n} = r^{n} (cos n θ + i sin n θ)$ とする（絶対値は $n$ 乗、偏角は $n$ 倍）。 $n$ が 0 以下の整数のときは $z \neq = 0$ を確認しておく。
$n θ$ が大きいときは、 $2 π$ の整数倍を足したり引いたりして値のわかる角に直し、 $cos n θ, sin n θ$ の値を求める。
$r^{n}$ を掛けて $a + bi$ の形に整理する。

例題

$(3 + i)^{5}$ を計算し、 $a + bi$ （ $a, b$ は実数）の形で求めよ。

例題の解答

【手順1】 $z = 3 + i$ とおく。 $r = (3)^{2} + 1^{2} = 4 = 2$ である。 $cos θ = \frac{3}{2}, sin θ = \frac{1}{2}$ を満たす角として $θ = \frac{π}{6}$ がとれるので、 $z = 2 (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6})$ 。

【手順2】ド・モアブルの定理より
$z^{5} = 2^{5} (cos \frac{5 π}{6} + i sin \frac{5 π}{6}) = 32 (cos \frac{5 π}{6} + i sin \frac{5 π}{6})$

【手順3】 $\frac{5 π}{6}$ は $0$ 以上 $2 π$ 未満なので、角を直す必要はない。 $cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}, sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}$ である。

【手順4】 $z^{5} = 32 (- \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i) = - 163 + 16 i$ 。

答え: $- 163 + 16 i$

よくある誤り

実部と虚部をそれぞれ $n$ 乗してしまう誤り。例えば $(3 + i)^{5} = (3)^{5} + i^{5}$ とはならない。正しくは、極形式に直してから $2^{5} (cos \frac{5 π}{6} + i sin \frac{5 π}{6}) = - 163 + 16 i$ と計算する。
偏角だけを $n$ 倍し、絶対値を $n$ 乗し忘れる（または $n r$ としてしまう）誤り。例えば ${2 (cos θ + i sin θ)}^{5}$ を $2 (cos 5 θ + i sin 5 θ)$ や $10 (cos 5 θ + i sin 5 θ)$ とするのは誤り。正しくは $32 (cos 5 θ + i sin 5 θ)$ 。
$cos θ + i sin θ$ の形になっていない式に、定理をそのまま当てはめる誤り。例えば $(sin θ + i cos θ)^{n} = sin n θ + i cos n θ$ とするのは誤り。正しくは、まず $sin θ + i cos θ = cos (\frac{π}{2} - θ) + i sin (\frac{π}{2} - θ)$ と直し、 $cos n (\frac{π}{2} - θ) + i sin n (\frac{π}{2} - θ)$ とする。同じように $cos θ - i sin θ$ は $cos (- θ) + i sin (- θ)$ と直してから使う。
偏角を符号まで含めて正しく読み取らない誤り。例えば $1 - i$ の偏角を $\frac{π}{4}$ とするのは誤り。 $cos θ = \frac{1}{2}, sin θ = - \frac{1}{2}$ なので、正しくは $θ = - \frac{π}{4}$ （または $\frac{7 π}{4}$ ）。したがって $(1 - i)^{10} = (2)^{10} {cos (- \frac{5 π}{2}) + i sin (- \frac{5 π}{2})} = 32 (0 - i) = - 32 i$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

方程式 $z^{n} = a$ の解（数学C 複素数平面）
$z^{n}$ が実数・純虚数となる条件（数学C 複素数平面）
$1 + cos θ + i sin θ$ の極形式（数学C 複素数平面）