複素数と 2 次方程式の虚数解

$i$ を虚数単位とする。$x$ についての 2 次方程式
$$x^2-4x+13=0$$
を複素数の範囲で解け。

$i$ を虚数単位とする。$x$ についての 2 次方程式 $$2x^2-2x+5=0$$ を、複素数の範囲で解け。

$x$ についての 2 次方程式 $$x^2-6x+13=0$$ を、複素数の範囲で解け。ただし、$i$ は虚数単位とする。

3 次方程式 $$x^3-3x^2+4x-2=0$$ の解を、複素数の範囲ですべて求めよ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& (0\leqq x\leqq 2)\\ 0& (x<0\text{ または }x>2)\end{array}$$
のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。ただし $i$ は虚数単位である。$\hat{f}\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& (0\leqq x\leqq 2)\\ 0& (x<0\text{ または }x>2)\end{array}$$
のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。ただし $i$ は虚数単位である。$\hat{f}\left(\frac{\pi }{4}\right)$ の値を求めよ。答えは $a+bi$（$a,b$ は実数）の形が分かるように整理して答えよ。

実数全体で定義された関数 $f(x)$, $g(x)$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array},g(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-2x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
で定め、その畳み込みを
$$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。可積分な関数 $u(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定めるとき、$\hat{h}(1)$ の値を求めよ。ただし $i$ は虚数単位とする。

実数全体で定義された可積分な関数 $u(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。関数 $f(x)$, $g(x)$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array},g(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-2x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
で定め、その畳み込みを
$$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。$h(x)$ のフーリエ変換の $\omega =1$ における値 $\hat{h}(1)$ を求めよ。ただし $i$ は虚数単位とし、答えは $a+bi$（$a,b$ は実数）の形で表せ。

実数全体で定義された可積分な関数 $u(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。関数 $f(x)$, $g(x)$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array},g(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-2x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
で定め、その畳み込みを
$$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。$h(x)$ のフーリエ変換 $\hat{h}(\omega )$ の $\omega =1$ における値 $\hat{h}(1)$ を求めよ。ただし、$i$ は虚数単位とする。

$i$ を虚数単位とする。複素数平面上に $3$ 点 $\mathrm{A}(1)$, $\mathrm{B}(3+i)$, $\mathrm{C}(2+3i)$ がある。$\angle \mathrm{BAC}$ の大きさを弧度法で求めよ。ただし、$0\leqq \angle \mathrm{BAC}\leqq \pi$ とする。

$i$ を虚数単位とする。複素数平面上に $3$ 点 $\mathrm{A}(1+i)$, $\mathrm{B}(4+2i)$, $\mathrm{C}(3+5i)$ がある。$\angle \mathrm{BAC}$ の大きさ $\theta$ を求めよ。ただし $0\leqq \theta \leqq \pi$ とし、弧度法で答えよ。

$x,y$ は実数とする。等式
$$\frac{x}{1+i}+\frac{y}{1-2i}=\frac{5}{3+i}$$
が成り立つとき、$x,y$ の値を求め、組 $(x,y)$ の形で答えよ。ただし、$i$ は虚数単位とする。

$i$ を虚数単位とする。$$z=\frac{1+3i}{1-i}$$ のとき、$z^4$ の値を $a+bi$（$a,b$ は実数）の形で求めよ。

3 次方程式 $$x^3+2x^2-x+6=0$$ の解を、複素数の範囲ですべて求めよ。

$a$ を実数とし，$i$ を虚数単位とする。複素数 $$\frac{(a+i{)}^2}{1+i}$$ が純虚数となるような $a$ の値をすべて求めよ。

留数定理を用いて、次の広義積分の値を求めよ。
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{(x^2+1)(x^2+2x+5)}$$

$t\ge 0$ で定義された関数 $f(t)$ のラプラス変換を
$$F(s)=\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$
で定める。ラプラス変換の性質 $\mathcal{L}[t^{n}f(t)](s)=(-1{)}^n{F}^{(n)}(s)$（$n$ は正の整数）などを用いて、定積分
$$I={\int }_0^{\infty }{t}^3{e}^{-2t}\cos tdt$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x{e}^{-x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。ただし $i$ は虚数単位である。このとき $\hat{f}(1)$ の値を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）内の $5$ 次曲線 $C$ と $4$ 次曲線 $D$ を
$$C:Y^3{Z}^2-X^5=0,D:X^4-Y^2{Z}^2+XY{Z}^2=0$$
で定める。$C$ は既約であることを用いてよい。点 $p$ における $C$ と $D$ の交点数を $I_p(C,D)={\dim }_{\mathbb{C}}{\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^2,p}/(f,g)$（$f,g$ は $p$ の近くでの $C,D$ の局所方程式）で定める。$O=[0:0:1]$、$P=[0:1:0]$ とするとき、
$$(I_O(C,D),I_P(C,D),N)$$
をこの順に組で求めよ。ただし $N$ は $C\cap D$ のうち $O,P$ 以外の点の個数（相異なる点の個数）である。

線間電圧の大きさが $200\sqrt{3}\text{V}$ の対称三相交流電源（周波数一定、内部インピーダンスは無視する）に、次の 2 つの平衡三相負荷を並列に接続する。

• 負荷 A：抵抗 $R=6\Omega$ と誘導性リアクタンス $X_L=8\Omega$ を直列にしたものを 1 相分とし、Y 結線にしたもの
• 負荷 B：容量性リアクタンス $X_C=24\Omega$ のコンデンサを 1 相分とし、Δ 結線にしたもの

電源と負荷を結ぶ電線のインピーダンスは無視する。電源から流れ出る線電流の大きさ $[\text{A}]$ を整数で求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x$ についての 4 次方程式
$$x^4-4x^3+a{x}^2-4x+1=0$$
が $x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ を解にもつとき、この方程式の実数解をすべて求めよ。

$z=x+iy$（$x,y$ は実数）とし、$u(x,y),v(x,y)$ を実数値関数とする。関数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ は複素平面全体で正則であり、
$$u(x,y)-v(x,y)=x^3+y^3-3x^{2}y-3x{y}^2-2x-2y$$
がすべての実数 $x,y$ について成り立つ。さらに $f(0)=0$ であるとき、$f(1+i)$ の値を求めよ。

$i$ を虚数単位とし、$\alpha =\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ とする。このとき
$$(1+\alpha {)}^{11}+(1-\alpha {)}^{11}$$
の値を $a+bi$（$a,b$ は実数）の形で求めよ。

$x$ の 2 次方程式 $x^2-2x+4=0$ の 2 つの解のうち、虚部が正であるものを $\alpha$ とする。
$$S=\alpha +{\alpha }^2+{\alpha }^3+\cdots +{\alpha }^{12}$$
を $a+bi$（$a,b$ は実数、$i$ は虚数単位）の形で求めよ。

$a,b$ を実数の定数とする。$x$ についての 2 次方程式
$$x^2+ax+b=0$$
は虚数解をもつとし、その虚数解の 1 つを $\alpha$ とする。${\alpha }^2+4\alpha +2$ もこの方程式の解であるとき、$a,b$ の値を求め、組 $(a,b)$ の形で答えよ。

複素数 $z$ が
$$z+\frac{1}{z}=\sqrt{3}$$
を満たすとき、
$$S=\sum _{k=1}^{30}\left(z^k+\frac{1}{z^k}\right)$$
の値を求めよ。

SI 単位系で、$z>0$ の空間を一様な導電性の媒質が満たしている。この媒質の誘電率は真空の誘電率 ${\epsilon }_0$、透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しく、電気伝導率は $\sigma$ で、電流密度はオームの法則 $\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}$ に従う。媒質の内部では電荷密度は $0$ とする。光速を $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とする。

この媒質の中を、角振動数 $\omega (>0)$ の単色の平面電磁波が $z$ 軸の正の向きに進んでいる。電場は $x$ 成分だけをもち、複素表示で
$$E_x(z,t)=\mathrm{Re}\left[E_0{e}^{i(kz-\omega t)}\right]$$
と書ける（$E_0$ は定数、$k$ は複素数の波数で $\mathrm{Re}k>0$）。伝導率が $\sigma =\sqrt{3}{\epsilon }_0\omega$ であるとき、電場の振幅が $\frac{1}{e}$ 倍になるまでに波が進む距離（振幅の減衰長）を、$c$, $\omega$ を用いて表せ。

級数
$$S=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n^2+n+1}$$
の値を求めよ。必要なら、$\mathbb{Z}$ に属さない $z\in \mathbb{C}$ に対して成り立つ部分分数展開
$$\pi \cot \pi z=\underset{N\to \infty }{\lim }\sum _{n=-N}^N\frac{1}{z-n}$$
を用いてよい。答えは双曲線関数 $\tanh$ を用いて表してよい。

線間電圧の大きさが $200\sqrt{3}\text{V}$ の対称三相交流電源（周波数一定、相順は a→b→c、すなわち線間電圧 ${\dot{V}}_{ab}$ は ${\dot{V}}_{bc}$ より位相が $\frac{2\pi }{3}$ 進む）の 3 本の線 a, b, c に、中性線のない Y 結線の不平衡負荷をつなぐ。負荷の中性点を N′ とし、a と N′ の間にはコンデンサ（リアクタンスの大きさ $\frac{1}{\omega C}=100\Omega$）、b と N′ の間と c と N′ の間にはそれぞれ抵抗 $R=100\Omega$ をつなぐ。電源の内部インピーダンスと線路のインピーダンスは無視し、コンデンサは理想的（損失なし）とする。

b–N′ 間の抵抗で消費される電力 $P_b[\text{W}]$ と、c–N′ 間の抵抗で消費される電力 $P_c[\text{W}]$ を、この順に組 $(P_b,P_c)$ で求めよ。値は根号を用いた正確な値で答えよ。

伝達関数が
$$H(z)=\frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}+\frac{1}{2}{z}^{-2}}$$
で与えられる因果的な離散時間 IIR フィルタがある。このフィルタの周波数特性を $H(e^{j\omega })$（$\omega$ は正規化角周波数、$-\pi \le \omega \le \pi$）とするとき、
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\left|H(e^{j\omega })\right|}^{2}d\omega$$
の値を求めよ。

（この値は、平均 $0$・分散 ${\sigma }^2$ の白色雑音を入力したときの定常状態での出力の分散を ${\sigma }^2$ で割ったもの、すなわちフィルタの雑音電力利得に等しい。）