複素数の相等

$a, b, c, d$ が実数のとき $a + bi = c + d i ⟺ a = c, b = d$ を使い、 $z = x + y i$ とおいて $z^{2} = 2 z ˉ - 1$ のような複素数の等式を満たす $x, y$ を求められる

前提

複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）

説明

$a, b, c, d$ が実数のとき、2 つの複素数 $a + bi$ と $c + d i$ が等しいのは、実部どうし（ $a$ と $c$ ）と虚部どうし（ $b$ と $d$ ）がそれぞれ等しいときだけです。これを使うと、複素数の等式 1 本を、実数の等式 2 本（連立方程式）に書き直せます。未知の実数 $x, y$ を含む複素数の等式を解くときや、 $z = x + y i$ とおいて $z^{2} = 2 z ˉ - 1$ のような方程式を満たす複素数 $z$ を求めるときに使います。

なぜそうしてよいのか

まず $a + bi = 0$ （ $a, b$ は実数）なら $a = b = 0$ であることを確かめます。もし $b \neq = 0$ なら $i = - \frac{a}{b}$ となり、 $i$ は実数になります。ところが実数は 2 乗すると $0$ 以上なのに、 $i^{2} = - 1 < 0$ です。これは矛盾なので $b = 0$ です。すると $a = 0$ も決まります。

一般の場合は、 $a + bi = c + d i$ を移項して $(a - c) + (b - d) i = 0$ とします。 $a - c, b - d$ も実数なので、上のことから $a - c = 0, b - d = 0$ 、つまり $a = c, b = d$ です。逆に $a = c, b = d$ なら両辺が等しいのは明らかです。

この議論では「 $a, b, c, d$ が実数である」ことを本質的に使っています。実数 $1$ と虚数単位 $i$ は、互いに打ち消し合って $0$ になることがありません。そのため、実数でまとめた部分と $i$ の係数の部分を別々に比べてよいのです。なお、共役複素数 $z ˉ$ とは、 $z = x + y i$ （ $x, y$ は実数）に対して虚部の符号を変えた $z ˉ = x - y i$ のことです。

手順

未知の複素数があれば $z = x + y i$ （ $x, y$ は実数）とおく。文字がすでに実数と決まっていれば、それを確認する。必要なら $z ˉ = x - y i$ も使う。
両辺を展開し、 $i^{2} = - 1$ を使って、それぞれ「(実数) $+$ (実数) $i$ 」の形に整理する。
実部どうし、虚部（ $i$ の係数）どうしを等しいとおき、実数の連立方程式を 2 本作る。
連立方程式を解き、 $x, y$ が実数であることを確かめて答える（ $z$ を求める問題なら $z = x + y i$ に戻す）。

例題

実数 $x, y$ が $(2 + i) x + (1 - 3 i) y = 5 - i$ を満たすとき、 $x, y$ の値を求めよ。答えは組 $(x, y)$ で答えよ。

例題の解答

【手順1】 $x, y$ は実数と与えられているので、このまま比べられる。

【手順2】左辺を展開して整理すると
$(2 + i) x + (1 - 3 i) y = (2 x + y) + (x - 3 y) i$
となる。 $x, y$ が実数なので、 $2 x + y$ と $x - 3 y$ も実数である。右辺は実部が $5$ 、虚部が $- 1$ である。

【手順3】実部と虚部をそれぞれ比べると
$2 x + y = 5, x - 3 y = - 1$
が得られる。

【手順4】2 本目から $x = 3 y - 1$ である。これを 1 本目に代入すると $2 (3 y - 1) + y = 5$ となり、 $7 y = 7$ から $y = 1$ である。よって $x = 3 \cdot 1 - 1 = 2$ となる。これらはともに実数で、条件を満たす。

検算： $(2 + i) \cdot 2 + (1 - 3 i) \cdot 1 = 4 + 2 i + 1 - 3 i = 5 - i$ となり、成り立つ。

したがって $(x, y) = (2, 1)$ である。

答え: $(2, 1)$

よくある誤り

文字が実数かどうかを確かめずに比べてしまう誤り。たとえば $x = 1 + i, y = - 1 - i$ のとき $x + y i = (1 + i) + (- 1 - i) i = 2$ となり、 $x + y i = 2 + 0 i$ ですが $y \neq = 0$ です。正しくは、 $x, y$ が実数のときに限って実部・虚部を比べられます。
虚部に $i$ まで含めてしまう誤り。たとえば $5 - i$ の虚部を $- i$ としてしまうことです。正しくは、虚部は $i$ の係数なので $- 1$ です。比べる式は $x - 3 y = - 1$ であり、 $x - 3 y = - i$ ではありません。
展開や整理をせずに、見た目の数字だけを比べてしまう誤り。たとえば $(2 + i) x + (1 - 3 i) y$ の実部を $2 + 1 = 3$ としてしまうことです。正しくは、先に $(2 x + y) + (x - 3 y) i$ とまとめます。そのうえで実部は $2 x + y$ 、虚部は $x - 3 y$ です。
$i^{2} = - 1$ の符号を落とす誤り。たとえば $z = x + y i$ のとき $z^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y i$ としてしまうことです。正しくは $z^{2} = x^{2} + 2 x y i + y^{2} i^{2} = (x^{2} - y^{2}) + 2 x y i$ です。また $z ˉ = x - y i$ の符号にも注意します。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

虚数解をもつ高次方程式の係数決定（数学II 複素数と方程式）
正則関数とコーシー・リーマンの方程式（大学数学複素関数）