虚数解をもつ高次方程式の係数決定

実数係数の方程式が虚数解 $p + q i$ をもつとき、代入して実部・虚部を比べる（または共役な $p - q i$ も解であることを使う）ことで係数を決定し、残りの解を求められる

前提

複素数の相等（数学II 複素数と方程式）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
整式の除法（数学II 複素数と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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複素数の相等（数学II 複素数と方程式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
整式の除法（数学II 複素数と方程式）

説明

実数係数の方程式が $1 + 2 i$ のような虚数解をもつと分かっているとき、方程式の中の未知の係数を決め、さらに残りの解をすべて求められるようになります。使う方法は 2 通りあります。1 つは、虚数解を代入して「実部 $= 0$ 」「虚部 $= 0$ 」の連立方程式にする方法です。もう 1 つは、共役な複素数 $p - q i$ も解になることを使って、2 次式の因数を作る方法です。3 次方程式や 4 次方程式の係数決定でよく使います。

なぜそうしてよいのか

【代入法の理由】 $x = p + q i$ が解なら、代入した式は $0$ になります。 $i^{2} = - 1$ を使って整理すると、 $A + B i = 0$ の形になります。係数が実数なので $A, B$ も実数です。よって複素数の相等から $A = 0$ かつ $B = 0$ となり、未知の係数についての連立方程式が 2 本得られます。係数が実数でないと $A, B$ が実数とは限らないので、この分け方はできません。

【共役な数も解になる理由】 $x = p \pm q i$ （ $q \neq = 0$ ）を 2 つの解とする 2 次方程式は $x^{2} - 2 p x + (p^{2} + q^{2}) = 0$ です。実際、和は $2 p$ 、積は $(p + q i) (p - q i) = p^{2} + q^{2}$ です。そこで $g (x) = x^{2} - 2 p x + p^{2} + q^{2}$ とおき、実数係数の整式 $f (x)$ を $g (x)$ で割ります。商を $Q (x)$ 、余りを $r x + s$ とすると $f (x) = g (x) Q (x) + r x + s$ で、 $r, s$ は実数です。ここに $x = p + q i$ を代入すると、 $g (p + q i) = 0$ かつ $f (p + q i) = 0$ なので $r p + s + r q i = 0$ となります。相等より $r q = 0$ と $r p + s = 0$ が成り立ち、 $q \neq = 0$ から $r = 0$ 、さらに $s = 0$ です。つまり $f (x)$ は $g (x)$ で割り切れます。したがって $p - q i$ も解になり、残りの解は商 $Q (x) = 0$ を解けば得られます。

手順

虚数解 $p + q i$ の 2 乗・3 乗などを、 $i^{2} = - 1$ を使って $□ + □ i$ の形に計算しておく
方程式に $x = p + q i$ を代入し、左辺を（実部） $+$ （虚部） $i = 0$ の形に整理する。このとき係数が実数であることを確認する
複素数の相等より「実部 $= 0$ 」「虚部 $= 0$ 」とし、連立方程式を解いて係数を決める
共役な $p - q i$ も解であることから、左辺は $x^{2} - 2 p x + (p^{2} + q^{2})$ で割り切れる。割り算または因数定理で因数分解し、残りの解を求める

例題

$a, b$ を実数とする。3 次方程式 $x^{3} + a x^{2} + b x - 5 = 0$ が $x = 1 + 2 i$ を解にもつとき、 $a, b$ の値と、この方程式の実数の解を求めよ。答えは $(a, b, 実数の解)$ の組で答えよ。

例題の解答

手順1： $(1 + 2 i)^{2} = 1 + 4 i + 4 i^{2} = - 3 + 4 i$ です。 $(1 + 2 i)^{3} = (1 + 2 i) (- 3 + 4 i) = - 3 + 4 i - 6 i + 8 i^{2} = - 11 - 2 i$ です。

手順2： $x = 1 + 2 i$ を代入すると $(- 11 - 2 i) + a (- 3 + 4 i) + b (1 + 2 i) - 5 = 0$ です。 $a, b$ は実数なので、実部と虚部に分けると $(- 16 - 3 a + b) + (- 2 + 4 a + 2 b) i = 0$ となります。

手順3：相等より $- 16 - 3 a + b = 0$ かつ $- 2 + 4 a + 2 b = 0$ です。2 本目から $b = 1 - 2 a$ となります。これを 1 本目に代入すると $- 16 - 3 a + 1 - 2 a = 0$ なので $- 5 a = 15$ 、よって $a = - 3$ 、 $b = 7$ です。

手順4：方程式は $x^{3} - 3 x^{2} + 7 x - 5 = 0$ です。共役な $1 - 2 i$ も解なので、左辺は $x^{2} - 2 x + 5$ （解の和が $2$ 、積が $(1 + 2 i) (1 - 2 i) = 5$ ）で割り切れます。割ると $x^{3} - 3 x^{2} + 7 x - 5 = (x^{2} - 2 x + 5) (x - 1)$ です。（ $x = 1$ を代入すると $1 - 3 + 7 - 5 = 0$ となり、因数定理でも確認できます。）よって解は $x = 1 \pm 2 i, 1$ で、実数の解は $x = 1$ です。

答え： $a = - 3, b = 7$ 、実数の解は $1$ 。

答え: $(- 3, 7, 1)$

よくある誤り

$(1 + 2 i)^{2} = 1 + 4 i + 4 = 5 + 4 i$ と、 $i^{2}$ を $+ 1$ のように扱ってしまう誤り。正しくは $i^{2} = - 1$ なので $(1 + 2 i)^{2} = 1 + 4 i - 4 = - 3 + 4 i$ です。
係数が実数かどうかを確かめずに、実部と虚部を分けたり共役解を使ったりしてしまう誤り。たとえば $x^{2} - i x = 0$ は $x = i$ を解にもちますが、 $x = - i$ は解ではありません（解は $0$ と $i$ ）。実部・虚部の比較も共役解の性質も、係数が実数のときにだけ使えます。
共役な解から作る 2 次式を $x^{2} + 2 p x + (p^{2} + q^{2})$ と符号を間違える誤り。正しくは $(x - (p + q i)) (x - (p - q i)) = x^{2} - 2 p x + (p^{2} + q^{2})$ です。 $1 \pm 2 i$ なら $x^{2} - 2 x + 5$ になります。
3 次方程式なのに、残りの解を共役な $1 - 2 i$ だけで終わらせてしまう誤り。正しくは、 $x^{2} - 2 x + 5$ で割った商 $x - 1$ からもう 1 つの解 $x = 1$ も求めます。解は $1 \pm 2 i, 1$ の 3 つです。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

虚数解をもつ高次方程式の係数決定

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