複素数と方程式の問題

方針 $x=1+i$ を方程式に代入し、「実部」と「虚部」がそれぞれ $0$ になることから $a,b$ を決める。そのあと、方程式を因数分解して残りの解を求める。

1. $(1+i{)}^2,(1+i{)}^3$ を計算する
$$(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$$
$$(1+i{)}^3=(1+i{)}^2(1+i)=2i(1+i)=2i+2i^2=-2+2i$$

2. 代入して実部・虚部に分ける
$x=1+i$ が解なので
$$(-2+2i)+a\cdot 2i+b(1+i)+6=0$$
実部と虚部に分けて整理すると
$$(b+4)+(2a+b+2)i=0$$
$a,b$ は実数なので、$b+4$ と $2a+b+2$ も実数である。複素数の相等より
$$b+4=0,2a+b+2=0$$
よって $b=-4$、$2a-4+2=0$ より $a=1$。

3. 方程式を解く
方程式は
$$x^3+x^2-4x+6=0$$
となる。$x=-3$ を代入すると $-27+9+12+6=0$ なので、因数定理より $x+3$ を因数にもつ。$x^3+x^2-4x+6$ を $x+3$ で割ると商は $x^2-2x+2$、余りは $0$ なので
$$(x+3)(x^2-2x+2)=0$$
$x^2-2x+2=0$ を解くと
$$x=1\pm \sqrt{1-2}=1\pm i$$
したがって、方程式の解は $x=-3,1+i,1-i$ である。

（別解の考え方：係数が実数なので、$1+i$ が解なら共役な $1-i$ も解である。$1\pm i$ を解とする 2 次方程式は $x^2-2x+2=0$ なので、左辺は $(x^2-2x+2)(x-c)$ と表せる。定数項を比べて $-2c=6$、すなわち $c=-3$ となり、同じ結果が得られる。）

よって、$1+i$ 以外の解は $x=1-i,-3$ である。

$a,b$ は実数なので、係数が実数の方程式が $1+i$ を解にもつとき、共役な複素数 $1-i$ も解である。3 つの解を $1+i,1-i,\gamma$ とおく。解と係数の関係より、3 つの解の積は $-6$ である。
$(1+i)(1-i)\gamma =-6$ で、$(1+i)(1-i)=2$ だから $2\gamma =-6$、すなわち $\gamma =-3$。

検算:
$(x^2-2x+2)(x+3)=x^3+x^2-4x+6$ となるので $a=1,b=-4$（実数）。
$x=1+i$ のとき $(1+i{)}^2=2i$、$(1+i{)}^3=-2+2i$ なので、$(-2+2i)+2i-4(1+i)+6=0$ となり成り立つ。

よって $1+i$ 以外の解は $x=1-i,-3$。