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複素数と方程式

扱うテーマ: 複素数の計算、2 次方程式の解の判別（複素数の範囲）、解と係数の関係、剰余の定理・因数定理、高次方程式

難易度の目安（高校数学）

難易度 1 教科書の例題レベル
難易度 2 教科書の章末問題レベル
難易度 3 共通テストレベル
難易度 4 国公立二次の標準レベル
難易度 5 最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル

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難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とする。 $x$ についての 2 次方程式
$x^{2} - 4 x + 13 = 0$
を複素数の範囲で解け。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とする。 $x$ についての 2 次方程式 $2 x^{2} - 2 x + 5 = 0$ を、複素数の範囲で解け。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ についての 2 次方程式 $x^{2} - 6 x + 13 = 0$ を、複素数の範囲で解け。ただし、 $i$ は虚数単位とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
3 次方程式 $x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = 0$ の解をすべて求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
3 次方程式 $x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 2 = 0$ の解を、複素数の範囲ですべて求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
3 次方程式 $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 = 0$ を解け。
難易度 1（教科書の例題レベル）
整式 $A = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5$ を整式 $B = x^{2} - x + 2$ で割ったときの商 $Q$ と余り $R$ を求めよ。答えは $(Q, R)$ の形で、商、余りの順に答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ の整式 $A = 2 x^{3} + x^{2} - 5 x + 7$ を整式 $B = x^{2} + x - 1$ で割ったときの商と余りを、この順に求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
整式 $A = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5$ を整式 $B = x^{2} - x + 2$ で割ったときの商 $Q$ と余り $R$ を求めよ。答えは $(Q, R)$ の順の組で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とする。複素数 $z$ が等式
$(1 + i) z + z ˉ = 3 + 2 i$
を満たすとき、 $z$ を求めよ。ただし、 $z ˉ$ は $z$ と共役な複素数である。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x, y$ は実数とし、 $i$ は虚数単位とする。等式
$(2 + i) x + (1 - 3 i) y = 8 - 3 i$
が成り立つとき、 $x, y$ の値を求め、組 $(x, y)$ の形で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とし、 $z ˉ$ は $z$ と共役な複素数を表す。複素数 $z$ が等式 $2 z + i z ˉ = 5 + 4 i$ を満たすとき、 $z$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$k$ を整数の定数とする。 $x$ についての 2 次方程式 $x^{2} + 2 k x + k + 6 = 0$ が虚数解をもつような整数 $k$ の値をすべて求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$k$ を整数とする。 $x$ についての 2 次方程式
$x^{2} + 2 k x + k + 6 = 0$
が虚数解をもつような整数 $k$ の値をすべて求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$m$ を整数とする。 $x$ についての 2 次方程式
$x^{2} + 2 m x + 3 m + 4 = 0$
が虚数解をもつような整数 $m$ の値をすべて求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
2 次方程式 $3 x^{2} - 6 x + 2 = 0$ の 2 つの解を $α, β$ とする。このとき、 $α^{2} + β^{2}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
2 次方程式 $2 x^{2} + 4 x - 3 = 0$ の 2 つの解を $α, β$ とする。このとき、 $α^{2} + β^{2}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
2 次方程式 $2 x^{2} - 6 x + 3 = 0$ の 2 つの解を $α, β$ とする。このとき、 $α^{2} + β^{2}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
方程式 $x^{3} = 1$ の虚数解の 1 つを $ω$ とする。このとき、 $ω^{32} + ω^{16}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$ω$ を方程式 $x^{3} = 1$ の虚数解の 1 つとする。このとき、 $ω^{101} + ω^{52}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
方程式 $x^{3} = 1$ の虚数解の 1 つを $ω$ とする。このとき、 $ω^{31} + ω^{17}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ についての 4 次方程式
$x^{4} - 7 x^{3} + 14 x^{2} - 7 x + 1 = 0$
を解け。すなわち、この方程式の解をすべて求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ についての 4 次方程式
$x^{4} - 7 x^{3} + 14 x^{2} - 7 x + 1 = 0$
の解をすべて求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ についての 4 次方程式
$2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2} - 11 x + 2 = 0$
の解をすべて求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
2 次式 $x^{2} + 2 x + 5$ を、複素数の範囲で因数分解せよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
2 次式 $2 x^{2} - 4 x + 10$ を、複素数の範囲で因数分解せよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とする。 $2$ 数 $2 + 3 i, 2 - 3 i$ を解とし、 $x^{2}$ の係数が $1$ である $2$ 次方程式を $x^{2} + p x + q = 0$ と表す。実数 $p, q$ の値を求め、組 $(p, q)$ の形で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ の整式 $P (x)$ を $x - 1$ で割ると余りは $2$ 、 $x + 1$ で割ると余りは $6$ 、 $x - 2$ で割ると余りは $3$ である。 $P (x)$ を $(x - 1) (x + 1) (x - 2)$ で割ったときの余りを求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ の整式 $P (x)$ を $x - 3$ で割ると余りは $5$ であり、 $x + 2$ で割ると余りは $- 5$ である。 $P (x)$ を $x^{2} - x - 6$ で割ったときの余りを求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ の整式 $P (x)$ を $x + 1$ で割ると余りは $2$ であり、 $x - 3$ で割ると余りは $10$ である。 $P (x)$ を $x^{2} - 2 x - 3$ で割ったときの余りを求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a, b$ を実数の定数とし、 $i$ を虚数単位とする。 $x$ についての 3 次方程式
$x^{3} + a x^{2} + b x - 6 = 0$
が $x = 1 + i$ を解にもつ。このとき、 $a, b$ の値とこの方程式の実数解 $c$ を求め、組 $(a, b, c)$ の形で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a, b$ を実数の定数とする。 $x$ についての 3 次方程式
$x^{3} + a x^{2} + b x + 6 = 0$
が $x = 1 + i$ を解にもつとき、この方程式の $1 + i$ 以外の解をすべて求めよ。ただし、 $i$ は虚数単位とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a, b$ を実数の定数とする。 $x$ についての 3 次方程式
$x^{3} + a x^{2} + 11 x + b = 0$
が $x = 1 + 2 i$ を解にもつとき、この方程式の実数解を求めよ。ただし、 $i$ は虚数単位とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
3 次方程式 $2 x^{3} - 4 x^{2} + 6 x - 3 = 0$ の 3 つの解を $α, β, γ$ とする。このとき、 $α^{2} + β^{2} + γ^{2}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
3 次方程式 $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 4 = 0$ の 3 つの解を $α, β, γ$ とする。このとき、 $α^{2} + β^{2} + γ^{2}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
3 次方程式 $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 5 = 0$ の 3 つの解を $α, β, γ$ とする。このとき、 $α^{2} + β^{2} + γ^{2}$ の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$a, b$ を実数の定数とする。 $x$ についての 3 次方程式
$x^{3} + a x^{2} + b x - 15 = 0$
が $x = 2 - i$ を解にもつとき、 $a, b$ の値を求めよ。ただし、 $i$ は虚数単位とする。答えは組 $(a, b)$ の形で答えよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
2次方程式 $x^{2} - 3 x + 5 = 0$ の2つの解を $α, β$ とする。このとき
$(α^{2} - 2 α + 3) (β^{2} - 2 β + 3)$
の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$k$ を整数とする。 $x$ についての 2 つの 2 次方程式
$x^{2} - 2 k x + 3 k + 10 = 0 (1)$
$x^{2} - (k - 1) x + k + 2 = 0 (2)$
がどちらも虚数解をもつような整数 $k$ の値をすべて求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$x, y$ は実数とする。等式
$\frac{x}{1 + i} + \frac{y}{1 - 2 i} = \frac{5}{3 + i}$
が成り立つとき、 $x, y$ の値を求め、組 $(x, y)$ の形で答えよ。ただし、 $i$ は虚数単位とする。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
整式 $P (x)$ を $x^{2} - 3 x + 2$ で割ると余りが $2 x + 5$ であり、 $x + 3$ で割ると余りが $3$ である。このとき、 $P (x)$ を $x^{2} + 2 x - 3$ で割ったときの余りを求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$i$ を虚数単位とする。 $z = \frac{1 + 3 i}{1 - i}$ のとき、 $z^{4}$ の値を $a + bi$ （ $a, b$ は実数）の形で求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
3 次方程式 $x^{3} + 2 x^{2} - x + 6 = 0$ の解を、複素数の範囲ですべて求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$a$ を実数とし， $i$ を虚数単位とする。複素数 $\frac{( a + i ) ^{2}}{1 + i}$ が純虚数となるような $a$ の値をすべて求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$a, b$ を実数の定数とする。 $x$ の整式 $P (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 6$ が $x^{2} - x - 6$ で割り切れるとき， $a, b$ の値を求め，組 $(a, b)$ の形で答えよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$m$ を実数の定数とする。 $x$ についての 2 次方程式 $x^{2} + 2 (m - 1) x + m + 5 = 0$ が重解をもつとき，その重解として考えられる値をすべて求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$x$ の整式 $P (x)$ を $(x - 1)^{2}$ で割ると余りは $3 x - 1$ であり、 $x + 2$ で割ると余りは $- 16$ である。 $P (x)$ を $(x - 1)^{2} (x + 2)$ で割ったときの余りを求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$x$ の整式 $P (x)$ を $(x - 1)^{2}$ で割ると余りは $2 x + 3$ であり， $x + 2$ で割ると余りは $8$ である。 $P (x)$ を $(x - 1)^{2} (x + 2)$ で割ったときの余りを求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての 4 次方程式
$x^{4} - 4 x^{3} + a x^{2} - 4 x + 1 = 0$
が $x = \frac{1 + 3 i}{2}$ を解にもつとき、この方程式の実数解をすべて求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a, b$ はそれぞれ $1$ 以上 $6$ 以下の整数とする。 $x$ についての 2 つの 2 次方程式 $x^{2} + a x + b = 0 (1)$ $x^{2} + b x + a = 0 (2)$ のうち、ちょうど一方だけが虚数解をもつような整数の組 $(a, b)$ の個数を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$m$ を実数の定数とする。 $x$ についての 2 次方程式 $x^{2} - (m + 3) x + 2 m + 2 = 0$ の 2 つの解の比が $1 : 2$ となるような $m$ の値をすべて求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
実数 $x, y, z$ が $x + y + z = 3, x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ を満たしながら動くとき、 $x^{5} + y^{5} + z^{5}$ の最小値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
3次方程式 $x^{3} + x^{2} + 2 x - 1 = 0$ の3つの解を $α, β, γ$ とする。このとき
$(α^{2} + α β + β^{2}) (β^{2} + β γ + γ^{2}) (γ^{2} + γ α + α^{2})$
の値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
複素数 $z$ が
$z^{2} = 2 z ˉ - 1$
を満たすとする。ただし、 $z ˉ$ は $z$ と共役な複素数である。このような $z$ をすべて求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての 4 次方程式
$x^{4} + a x^{3} + (a - 4) x^{2} + a x + 1 = 0$
の異なる実数解がちょうど $3$ 個となるような $a$ の値をすべて求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$i$ を虚数単位とし、 $α = \frac{1 + 3 i}{2}$ とする。このとき
$(1 + α)^{11} + (1 - α)^{11}$
の値を $a + bi$ （ $a, b$ は実数）の形で求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
3次方程式 $x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$ の3つの解を $α, β, γ$ とする。このとき
$(α^{2} + α + 1) (β^{2} + β + 1) (γ^{2} + γ + 1)$
の値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
3次方程式 $x^{3} - 3 x + 1 = 0$ の3つの解を $α, β, γ$ とする。このとき
$(α^{2} + β^{2}) (β^{2} + γ^{2}) (γ^{2} + α^{2})$
の値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての 2 次方程式
$x^{2} - 2 a x + 3 a + 3 = 0$
が虚数解をもつとし、その虚数解の 1 つを $α$ とする。 $α^{3}$ が純虚数となるような $a$ の値をすべて求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$x$ の 2 次方程式 $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ の 2 つの解のうち、虚部が正であるものを $α$ とする。
$S = α + α^{2} + α^{3} + \dots + α^{12}$
を $a + bi$ （ $a, b$ は実数、 $i$ は虚数単位）の形で求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a, b$ を実数の定数とする。 $x$ についての 2 次方程式
$x^{2} + a x + b = 0$
は虚数解をもつとし、その虚数解の 1 つを $α$ とする。 $α^{2} + 4 α + 2$ もこの方程式の解であるとき、 $a, b$ の値を求め、組 $(a, b)$ の形で答えよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$x$ の整式 $P (x)$ は、 $x$ についての恒等式
$(x - 1) P (x + 1) = (x + 2) P (x)$
を満たしている。また、 $P (x)$ を $x - 2$ で割ったときの余りは $24$ である。このとき、整式 $P (x)$ を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
3次方程式 $x^{3} - 4 x + 2 = 0$ は異なる3つの実数解をもつ。それらを $α, β, γ$ （ただし $α < β < γ$ ）とするとき、 $(α - β) (β - γ) (γ - α)$ の値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
整式 $x^{2026}$ を $x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 1$ で割ったときの余りを求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$m$ を実数の定数とする。 $x$ についての 2 次方程式 $x^{2} - m x + 3 m + 5 = 0$ の 2 つの解がともに整数となるような $m$ の値をすべて求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
整式 $x^{100}$ を $(x^{2} + x + 1)^{2}$ で割ったときの余りを求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
整数 $a, b$ は $1 ≦ b ≦ 100$ を満たすとする。 $x$ についての 2 次方程式 $x^{2} + a x + b = 0$ が虚数解をもち、その虚数解の 1 つを $α$ とするとき、 $α^{6}$ が実数となるような整数の組 $(a, b)$ の個数を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a, b$ を実数の定数とする。 $x$ についての $2$ 次方程式
$x^{2} + a x + b = 0$
は虚数解をもち、その $2$ つの解 $α, β$ は $α^{7} = β$ を満たしている。このとき、 $a$ のとりうる値をすべて求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
$f (x) = x^{2} - 2$ とする。 $x$ についての 8 次方程式 $f (f (f (x))) = x$ の実数解のうち、 $f (x) = x$ を満たさないものの中で最大のものを求めよ。