複素数と方程式の問題

方針

2 次方程式 $a{x}^2+bx+c=0$ の 2 つの解を $\alpha ,\beta$ とすると、
$$a{x}^2+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )$$
と因数分解できます。解が虚数であってもこの式は成り立つので、まず $x^2+2x+5=0$ の解を求めます。

手順 1：2 次方程式の解を求める

$x^2+2x+5=0$ の解は、解の公式より
$$x=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2}=\frac{-2\pm \sqrt{-16}}{2}=\frac{-2\pm 4i}{2}=-1\pm 2i$$
です。よって $\alpha =-1+2i,\beta =-1-2i$ とします。

手順 2：$a(x-\alpha )(x-\beta )$ に当てはめる

$x^2$ の係数は $a=1$ なので、
$$x^2+2x+5=\{x-(-1+2i)\}\{x-(-1-2i)\}=(x+1-2i)(x+1+2i)$$

確かめ

$(x+1-2i)(x+1+2i)=(x+1{)}^2-(2i{)}^2=x^2+2x+1+4=x^2+2x+5$ となり、もとの式に一致します。

なお、解と係数の関係から $\alpha +\beta =-2$、$\alpha \beta =5$ であり、これは $x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta =x^2+2x+5$ と一致しています。

答え $(x+1-2i)(x+1+2i)$

$x^2+2x+5=0$ を解くと、解の公式より $x=\frac{-2\pm \sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2\pm 4i}{2}=-1\pm 2i$。よって $x^2+2x+5=(x-(-1+2i))(x-(-1-2i))=(x+1-2i)(x+1+2i)$。検算：$(x+1{)}^2-(2i{)}^2=x^2+2x+1+4=x^2+2x+5$ となり一致する。