複素数と方程式の問題

2 次式 $a{x}^2+bx+c$ は、2 次方程式 $a{x}^2+bx+c=0$ の 2 つの解を $\alpha ,\beta$ とすると
$$a{x}^2+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )$$
と因数分解できます。そこで、まず 2 次方程式の解を求めます。

手順 1：2 次方程式 $2x^2-4x+10=0$ を解く

解の公式より
$$x=\frac{4\pm \sqrt{(-4{)}^2-4\cdot 2\cdot 10}}{2\cdot 2}=\frac{4\pm \sqrt{16-80}}{4}=\frac{4\pm \sqrt{-64}}{4}=\frac{4\pm 8i}{4}=1\pm 2i$$
よって、2 つの解は $\alpha =1+2i,\beta =1-2i$ です。

手順 2：$a(x-\alpha )(x-\beta )$ の形に書く

$x^2$ の係数は $a=2$ なので
$$2x^2-4x+10=2\{x-(1+2i)\}\{x-(1-2i)\}=2(x-1-2i)(x-1+2i)$$

確認

$(x-1-2i)(x-1+2i)=(x-1{)}^2-(2i{)}^2=x^2-2x+1+4=x^2-2x+5$ です。これを 2 倍すると $2x^2-4x+10$ となり、もとの式に一致します。

答えは $2(x-1-2i)(x-1+2i)$ です。

※ 最初の $2$ を忘れて $(x-1-2i)(x-1+2i)$ とすると、$x^2-2x+5$ になってしまい誤りです。

$2x^2-4x+10=2(x^2-2x+5)$ とくくる。$x^2-2x+5=0$ を解くと $x=1\pm \sqrt{1-5}=1\pm 2i$。よって $x^2-2x+5=(x-1-2i)(x-1+2i)$。したがって $2x^2-4x+10=2(x-1-2i)(x-1+2i)$。検算：$(x-1{)}^2-(2i{)}^2=(x-1{)}^2+4=x^2-2x+5$ なので、2 倍して元の式に一致する。