2 次方程式の解と係数の関係

$a x^{2} + b x + c = 0$ の 2 解 $α, β$ について $α + β = - \frac{b}{a}$ , $α β = \frac{c}{a}$ を使い、 $α^{2} + β^{2}$ や $(α^{2} - 2 α + 3) (β^{2} - 2 β + 3)$ のような式の値を求められる

前提

複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
2 変数の対称式（数学I 数と式）

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算数中学高校大学大学院

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複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
2 変数の対称式（数学I 数と式）

説明

2 次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a, b, c$ は実数、 $a \neq = 0$ ）の 2 つの解を $α, β$ とします。このとき和 $α + β$ と積 $α β$ は、解を求めなくても係数だけで決まります。この関係を「解と係数の関係」といいます。対称式の変形と組み合わせると、 $α^{2} + β^{2}$ や $(α^{2} - 2 α + 3) (β^{2} - 2 β + 3)$ のような式の値を、解を具体的に出さずに計算できます。解が虚数のときや、根号を含んで計算が重くなるときに特に役立ちます。

なぜそうしてよいのか

ここでは係数 $a, b, c$ を実数とし、解の公式から導きます。判別式を $D = b^{2} - 4 a c$ （実数）とすると、2 解は $α = \frac{- b + D}{2 a}$ , $β = \frac{- b - D}{2 a}$ です。 $D < 0$ のときは $D = - D i$ と約束すれば、同じ式で虚数解を表せます（この扱いは $D$ が実数、つまり係数が実数であることを前提にしています）。

和をとると $D$ の部分が打ち消し合い、 $α + β = \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a}$ です。積は和と差の積の形なので $α β = \frac{( - b ) ^{2} - ( D ) ^{2}}{4 a ^{2}} = \frac{b ^{2} - D}{4 a ^{2}}$ です。 $(D)^{2} = D$ は $D < 0$ のときも $(- D i)^{2} = (- D) \cdot i^{2} = D$ として成り立ちます。 $b^{2} - D = 4 a c$ より $α β = \frac{4 a c}{4 a ^{2}} = \frac{c}{a}$ です。 $D = 0$ （重解）のときは $α = β = - \frac{b}{2 a}$ で、やはり同じ関係が成り立ちます。

さらに、 $α$ は方程式の解なので $a α^{2} + b α + c = 0$ 、すなわち $α^{2} = - \frac{b α + c}{a}$ が成り立ちます（ $β$ も同じ）。これを使うと $α^{2}$ を 1 次式に置きかえられ、2 次式どうしの積も $(p α + q) (pβ + q) = p^{2} α β + pq (α + β) + q^{2}$ のように和と積だけで表せます。 $α, β$ を入れかえても変わらない式は $α + β$ と $α β$ で表せるので、この 2 つさえわかれば値が求まるのです。

手順

方程式を $a x^{2} + b x + c = 0$ の形に整理し、 $a, b, c$ を符号ごと読み取る（ $a \neq = 0$ ）。
解と係数の関係で和と積を求める: $α + β = - \frac{b}{a}$ , $α β = \frac{c}{a}$ 。
求めたい式が対称式なら $α + β$ , $α β$ で表す。例: $α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β$ , $α^{3} + β^{3} = (α + β)^{3} - 3 α β (α + β)$ 。 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = \frac{α + β}{α β}$ は $α β \neq = 0$ 、つまり $c \neq = 0$ のときだけ使える（ $c = 0$ なら解の 1 つが 0 で、式そのものが定義されない）。
$(α^{2} - 2 α + 3) (β^{2} - 2 β + 3)$ のように 2 次式の積があるときは、 $a α^{2} + b α + c = 0$ から $α^{2} = - \frac{b α + c}{a}$ （ $β$ も同様）を代入して各因数を 1 次式 $p α + q$ , $pβ + q$ に直し、 $(p α + q) (pβ + q) = p^{2} α β + pq (α + β) + q^{2}$ と展開する。
手順 2 の値を代入して計算する。

例題

2 次方程式 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ の 2 つの解を $α, β$ とするとき、 $(α^{2} - 2 α + 3) (β^{2} - 2 β + 3)$ の値を求めよ。

例題の解答

手順 1: $a = 1$ , $b = - 3$ , $c = 1$ である。
手順 2: $α + β = - \frac{- 3}{1} = 3$ , $α β = \frac{1}{1} = 1$ 。
手順 4: $α$ は解なので $α^{2} - 3 α + 1 = 0$ 、よって $α^{2} = 3 α - 1$ 。これを代入すると $α^{2} - 2 α + 3 = (3 α - 1) - 2 α + 3 = α + 2$ 。同様に $β^{2} - 2 β + 3 = β + 2$ 。したがって
$(α^{2} - 2 α + 3) (β^{2} - 2 β + 3) = (α + 2) (β + 2) = α β + 2 (α + β) + 4$
手順 5: 代入して $1 + 2 \cdot 3 + 4 = 11$ 。
（検算: そのまま展開すると $α^{2} β^{2} - 2 α β (α + β) + 3 (α^{2} + β^{2}) + 4 α β - 6 (α + β) + 9$ で、 $α^{2} + β^{2} = 3^{2} - 2 \cdot 1 = 7$ を使うと $1 - 6 + 21 + 4 - 18 + 9 = 11$ となり一致する。）

答え: $11$

よくある誤り

和の符号を逆にしてしまう誤り。 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ で $α + β = - 5$ とするのは誤りで、正しくは $α + β = - \frac{- 5}{1} = 5$ 。
$x^{2}$ の係数 $a$ で割るのを忘れる誤り。 $3 x^{2} + 6 x - 2 = 0$ で $α + β = - 6$ , $α β = - 2$ とするのは誤りで、正しくは $α + β = - \frac{6}{3} = - 2$ , $α β = - \frac{2}{3}$ 。
方程式を $a x^{2} + b x + c = 0$ の形に整理しないまま係数を読む誤り。 $x^{2} = 3 x - 1$ で $b = 3$ , $c = - 1$ とするのは誤りで、正しくは $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ と直して $b = - 3$ , $c = 1$ なので $α + β = 3$ , $α β = 1$ 。
$α^{2}$ を 1 次式に直すときに移項の符号を誤る誤り。 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ から $α^{2} = - 3 α + 1$ とするのは誤りで、正しくは $α^{2} = 3 α - 1$ （一般に $α^{2} = - \frac{b α + c}{a}$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

2 数を解とする 2 次方程式と複素数の範囲の因数分解（数学II 複素数と方程式）
3 次方程式の解と係数の関係（数学II 複素数と方程式）