複素数と方程式の問題

2 つの解の比が $1:2$ なので，2 つの解は $\alpha ,2\alpha$（$\alpha \ne 0$）とおける。

解と係数の関係より
$$\alpha +2\alpha =m+3(1)$$
$$\alpha \cdot 2\alpha =2m+2(2)$$

$(1)$ より $\alpha =\frac{m+3}{3}$。$(2)$ より ${\alpha }^2=m+1$。これに代入すると
$$\frac{(m+3{)}^2}{9}=m+1$$
$$m^2+6m+9=9m+9$$
$$m^2-3m=0$$
$$m(m-3)=0$$
よって $m=0,3$。

いずれの場合も $\alpha =\frac{m+3}{3}\ne 0$ である。実際に確かめると，
- $m=0$ のとき，方程式は $x^2-3x+2=0$，すなわち $(x-1)(x-2)=0$ で，解は $1,2$。比は $1:2$ である。
- $m=3$ のとき，方程式は $x^2-6x+8=0$，すなわち $(x-2)(x-4)=0$ で，解は $2,4$。比は $1:2$ である。

したがって $m=0,3$ である。

2 つの解を $t,2t$ とおく（比が $1:2$、順序は問わない）。解と係数の関係より $3t=m+3$、$2t^2=2m+2$。第2式から $t^2=m+1$。$t=\frac{m+3}{3}$ を代入して $\frac{(m+3{)}^2}{9}=m+1$、$m^2+6m+9=9m+9$、$m^2-3m=0$、$m=0,3$。検算: $m=0$ のとき $x^2-3x+2=0$ の解は $1,2$（比 $1:2$）。$m=3$ のとき $x^2-6x+8=0$ の解は $2,4$（比 $1:2$）。