複素数と方程式の問題

$x=0$ を代入すると左辺は $1$ となり $0$ にならないので、$x=0$ は解ではない。そこで両辺を $x^2$ で割ると
$$x^2+\frac{1}{x^2}+a\left(x+\frac{1}{x}\right)+a-4=0$$
となる。$t=x+\frac{1}{x}$ とおくと $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$ なので
$$t^2+at+a-6=0(1)$$
を得る。

$t$ と $x$ の対応 $t=x+\frac{1}{x}$ は $x^2-tx+1=0(2)$ と同値である。$(2)$ の判別式は $t^2-4$ である。$t$ が虚数のとき $(2)$ は実数解をもたない（$x$ が実数なら $t$ も実数になるため）。$t$ が実数のときは、$(2)$ の異なる実数解の個数は次のようになる。
- $|t|>2$ のとき $2$ 個
- $t=\pm 2$ のとき $1$ 個（$t=2$ なら $x=1$、$t=-2$ なら $x=-1$）
- $|t|<2$ のとき $0$ 個

また、実数 $x$ に対して $t$ の値はただ $1$ つに決まる。よって、異なる $t$ から得られる $x$ が一致することはない。

$(1)$ の解 $(1)$ の判別式は
$$a^2-4(a-6)=a^2-4a+24=(a-2{)}^2+20>0$$
である。よって $(1)$ はつねに異なる $2$ つの実数解 $t_1,t_2$ をもつ。もとの方程式の異なる実数解の個数は、$t_1,t_2$ それぞれに対する個数の和になる。各 $t_i$ に対する個数は $0,1,2$ のいずれかである。和が $3$ になるのは、一方が $1$ 個、他方が $2$ 個のときに限る。すなわち、一方の解が $t=2$ または $t=-2$ で、他方の解 $t^{\prime }$ が $|t^{\prime }|>2$ を満たす場合である。

(i) $t=2$ が $(1)$ の解のとき：$4+2a+a-6=0$ より $a=\frac{2}{3}$。このとき $(1)$ は
$$t^2+\frac{2}{3}t-\frac{16}{3}=0⟺3t^2+2t-16=0⟺(t-2)(3t+8)=0$$
となり、他方の解は $t=-\frac{8}{3}$ である。$\left|-\frac{8}{3}\right|>2$ なので条件を満たす。（実際、$x=1$ と、$x^2+\frac{8}{3}x+1=0$ の異なる $2$ つの実数解で計 $3$ 個。）

(ii) $t=-2$ が $(1)$ の解のとき：$4-2a+a-6=0$ より $a=-2$。このとき $(1)$ は
$$t^2-2t-8=0⟺(t-4)(t+2)=0$$
となり、他方の解は $t=4$ である。$|4|>2$ なので条件を満たす。（実際、$x=-1$ と、$x^2-4x+1=0$ の解 $x=2\pm \sqrt{3}$ で計 $3$ 個。）

なお、$t=2$ と $t=-2$ が同時に $(1)$ の解になることはない（$a$ の値が異なるため）。

以上より、求める $a$ の値は $a=-2,\frac{2}{3}$ である。

$x=0$ は解でないので、両辺を $x^2$ で割ると $x^2+\frac{1}{x^2}+a\left(x+\frac{1}{x}\right)+a-4=0$ となる。$t=x+\frac{1}{x}$ とおくと $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$ なので、$t^2+at+a-6=0$ ……(*) となる。

$t$ を定めたときの実数 $x$ の個数は次のとおり。
- $|t|>2$ のとき、$x$ は異なる実数解が 2 個。
- $|t|=2$ のとき、$t=2$ なら $x=1$、$t=-2$ なら $x=-1$ で、実数解は 1 個。
- $|t|<2$ のとき、実数解はない。

よって実数解がちょうど 3 個になるのは、(*) が異なる 2 つの実数解をもち、一方が $|t|>2$、他方が $t=\pm 2$ のときである。(*) が重解をもつ場合は、実数解が 0 個、1 個または 2 個にしかならず不適。

(i) $t=2$ が (*) の解のとき：$4+2a+a-6=0$ より $a=\frac{2}{3}$。このとき (*) は $3t^2+2t-16=0$、すなわち $(t-2)(3t+8)=0$ で、$t=2,-\frac{8}{3}$。$\left|-\frac{8}{3}\right|>2$ なので、実数解は $x=1$ と $t=-\frac{8}{3}$ に対応する 2 個の計 3 個。

(ii) $t=-2$ が (*) の解のとき：$4-2a+a-6=0$ より $a=-2$。このとき (*) は $t^2-2t-8=0$、すなわち $(t-4)(t+2)=0$ で、$t=4,-2$。$t=4$ から 2 個、$t=-2$ から $x=-1$ の 1 個で、計 3 個。

検算：$a=-2$ のとき、元の式は $x^4-2x^3-6x^2-2x+1$。$x=-1$ を代入すると $1+2-6+2+1=0$ で成り立つ。$a=\frac{2}{3}$ のとき、$x=1$ を代入すると $1+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-4+\frac{2}{3}+1=0$ で成り立つ。

したがって $a=-2,\frac{2}{3}$。