複素数と方程式の問題

共役な複素数を使って、$\alpha$ の満たす式を作る（鍵）

係数 $a,b$ は実数で、方程式は虚数解をもつので、$2$ つの解 $\alpha ,\beta$ は互いに共役な複素数である。すなわち $\beta =\overline{\alpha }$, $\alpha =\overline{\beta }$。

条件 ${\alpha }^7=\beta$ の両辺の共役な複素数をとると、$\overline{{\alpha }^7}={\left(\overline{\alpha }\right)}^7$ だから
$${\beta }^7=\alpha$$
も成り立つ。よって
$${\alpha }^{49}={\left({\alpha }^7\right)}^7={\beta }^7=\alpha$$
$\alpha$ は虚数なので $\alpha \ne 0$ であり、両辺を $\alpha$ で割って
$${\alpha }^{48}=1(1)$$

$b$ を決める

解と係数の関係より $\alpha \beta =b$。${\alpha }^7=\beta$ を代入すると
$${\alpha }^8=\alpha \cdot {\alpha }^7=\alpha \beta =b(2)$$
$(1)$, $(2)$ より $b^6={\left({\alpha }^8\right)}^6={\alpha }^{48}=1$。$b$ は実数なので $b=1$ または $b=-1$。

$b=-1$ とすると、判別式は $D=a^2+4>0$ となり、方程式は異なる $2$ つの実数解をもつので、虚数解をもつことに反する。よって $b=1$ であり、$(2)$ から
$${\alpha }^8=1$$

${\alpha }^8=1$ を満たす虚数を求める

$$x^8-1=(x^4-1)(x^4+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)$$
で、さらに
$$x^4+1=(x^2+1{)}^2-2x^2=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)$$
だから
$$x^8-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)$$
$\alpha$ は虚数なので $\alpha \ne \pm 1$ であり、$\alpha$ は
$$x^2+1=0,x^2+\sqrt{2}x+1=0,x^2-\sqrt{2}x+1=0$$
のいずれかの解である。これらの判別式はそれぞれ $-4$, $-2$, $-2$ で負なので、どれも $2$ つの虚数解をもつ。

一方、$\alpha$ は $x^2+ax+1=0$ の解でもある。実数係数で $x^2$ の係数が $1$ の $2$ 次方程式が虚数解 $\alpha$ をもつとき、もう $1$ つの解は $\overline{\alpha }$ に決まり、方程式は $(x-\alpha )(x-\overline{\alpha })=0$ に一致する。よって $x^2+ax+1$ は上の $3$ つの $2$ 次式のどれかと一致し
$$a=0,\sqrt{2},-\sqrt{2}$$
のいずれかである。

逆に条件を満たすことの確認

$a$ がこれらの値で $b=1$ のとき、判別式 $a^2-4$ は $-4$ または $-2$ で負なので虚数解をもつ。その解 $\alpha ,\beta$ は上の分解から ${\alpha }^8=1$ を満たし、また解と係数の関係から $\alpha \beta =1$ である。よって
$${\alpha }^7=\frac{{\alpha }^8}{\alpha }=\frac{1}{\alpha }=\beta$$
となり、条件を満たす。（例えば $a=0$ のとき $\alpha =i$ で、$i^7=-i=\beta$。）

以上より、$a$ のとりうる値は
$$a=-\sqrt{2},0,\sqrt{2}$$

係数が実数で解が虚数なので、$\beta =\overline{\alpha }$（共役複素数）であり、$\alpha \ne 0$。条件 ${\alpha }^7=\beta =\overline{\alpha }$ の両辺の絶対値をとると $|\alpha {|}^7=|\alpha |$。$|\alpha |>0$ より $|\alpha |=1$。したがって $\alpha \overline{\alpha }=1$、すなわち $\overline{\alpha }=\frac{1}{\alpha }$ となり、${\alpha }^7=\frac{1}{\alpha }$ から ${\alpha }^8=1$。

逆に $|\alpha |=1$ かつ ${\alpha }^8=1$ なら ${\alpha }^7=1/\alpha =\overline{\alpha }=\beta$ が成り立つ。

$\alpha =\cos \theta +i\sin \theta$、$\theta =\frac{k\pi }{4}$ ($k=0,1,\dots ,7$) で、虚数解になるのは実数でない $k=1,2,3,5,6,7$。
解と係数の関係より $a=-(\alpha +\beta )=-2\cos \theta$。
- $k=1,7$: $\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$ より $a=-\sqrt{2}$
- $k=2,6$: $\cos \theta =0$ より $a=0$
- $k=3,5$: $\cos \theta =-\frac{\sqrt{2}}{2}$ より $a=\sqrt{2}$

このとき $b=\alpha \beta =1$。

検算: $a=0$ は $x^2+1=0$、$\alpha =i$ のとき ${\alpha }^7=i^7=-i=\beta$ ✓。$a=-\sqrt{2}$ は $x^2-\sqrt{2}x+1=0$、解 $\frac{\sqrt{2}\pm \sqrt{2}i}{2}=e^{\pm i\pi /4}$。$\alpha =e^{i\pi /4}$ のとき ${\alpha }^7=e^{7i\pi /4}=e^{-i\pi /4}=\beta$ ✓。$a=\sqrt{2}$ も同様に $\alpha =e^{3i\pi /4}$ で ${\alpha }^7=e^{21i\pi /4}=e^{5i\pi /4}=e^{-3i\pi /4}=\beta$ ✓。

よって $a=-\sqrt{2},0,\sqrt{2}$。