複素数と方程式の問題

虚数解をもつ条件

判別式を $D$ とすると
$$\frac{D}{4}=a^2-(3a+3)=a^2-3a-3<0$$
より
$$\frac{3-\sqrt{21}}{2}<a<\frac{3+\sqrt{21}}{2}(1)$$
である。

${\alpha }^3$ が純虚数となる条件

係数が実数なので、$\alpha$ と共役な複素数 $\beta =\overline{\alpha }$ がもう 1 つの解である。解と係数の関係より
$$\alpha +\beta =2a,\alpha \beta =3a+3.$$

複素数 $z$ が純虚数であることは、$z+\overline{z}=0$ かつ $z\ne 0$ と同値である。$\overline{{\alpha }^3}={\left(\overline{\alpha }\right)}^3={\beta }^3$ であり、$\alpha$ は虚数なので $\alpha \ne 0$、よって ${\alpha }^3\ne 0$ は常に成り立つ。したがって条件は
$${\alpha }^3+{\beta }^3=0$$
である。

$${\alpha }^3+{\beta }^3=(\alpha +\beta {)}^3-3\alpha \beta (\alpha +\beta )=(2a{)}^3-3(3a+3)\cdot 2a$$
$$=8a^3-18a^2-18a=2a(4a^2-9a-9)=2a(4a+3)(a-3).$$

よって $2a(4a+3)(a-3)=0$ より
$$a=0,-\frac{3}{4},3.$$

条件 $(1)$ の確認

$a^2-3a-3$ に代入すると
- $a=0$ のとき $-3<0$
- $a=-\frac{3}{4}$ のとき $\frac{9}{16}+\frac{9}{4}-3=-\frac{3}{16}<0$
- $a=3$ のとき $9-9-3=-3<0$

となり、いずれも $(1)$ を満たす。

(確認) $a=3$ のとき方程式は $x^2-6x+12=0$ で、$\alpha =3+\sqrt{3}i$ とすると ${\alpha }^2=6+6\sqrt{3}i$、${\alpha }^3=(6+6\sqrt{3}i)(3+\sqrt{3}i)=24\sqrt{3}i$ となり、確かに純虚数である。$a=0$ のときは $\alpha =\pm \sqrt{3}i$ で ${\alpha }^3=\mp 3\sqrt{3}i$ となり、これも純虚数である。

以上より、求める $a$ の値は
$$a=-\frac{3}{4},0,3.$$

2次方程式が虚数解をもつので、判別式について $D/4=a^2-3a-3<0$。実数係数なので解は共役で、$\alpha =a+bi$（$b$ は実数、$b\ne 0$）と書ける。解と係数の関係より $\alpha \bar{\alpha }=a^2+b^2=3a+3$ なので、$b^2=3a+3-a^2$。

${\alpha }^3=(a^3-3a{b}^2)+(3a^{2}b-b^3)i$。これが純虚数となる条件は、実部が $0$ かつ虚部が $0$ でないこと。

実部: $a(a^2-3b^2)=0$ より $a=0$ または $a^2=3b^2$。

(i) $a=0$ のとき、$b^2=3$。虚部は $b(3a^2-b^2)=-3b\ne 0$。よって適する。

(ii) $a^2=3b^2$ のとき、$b^2=a^2/3$ を $b^2=3a+3-a^2$ に代入して $a^2=9a+9-3a^2$。これを整理すると $4a^2-9a-9=0$、すなわち $(a-3)(4a+3)=0$ より $a=3,-\frac{3}{4}$。
- $a=3$ のとき $b^2=3>0$。
- $a=-\frac{3}{4}$ のとき $b^2=\frac{3}{16}>0$。

どちらも $b\ne 0$ で虚数解をもつ。虚部は $b(3a^2-b^2)=2a^{2}b\ne 0$ なので適する。

検算: $a=3$ のとき $x^2-6x+12=0$ の解は $3\pm \sqrt{3}i$。偏角は $30^{\circ }$ なので3乗すると偏角 $90^{\circ }$ となり純虚数。$a=-\frac{3}{4}$ のとき解は $-\frac{3}{4}\pm \frac{\sqrt{3}}{4}i$。偏角は $150^{\circ }$ なので3乗すると $450^{\circ }=90^{\circ }$ となり純虚数。$a=0$ のとき $\alpha =\pm \sqrt{3}i$ で、${\alpha }^3=\mp 3\sqrt{3}i$ となり純虚数。

よって $a=0,3,-\frac{3}{4}$。