虚数解をもつ条件

係数に文字を含む 2 次方程式が虚数解をもつ条件を $D < 0$ と表し、2 次不等式を解いて定数の範囲を求められる（複数の方程式の条件の共通部分も求められる）

前提

複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
2 次不等式（数学I 2次関数）

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算数中学高校大学大学院

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複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
2 次不等式（数学I 2次関数）

説明

係数に文字（定数）を含む 2 次方程式について、「虚数解をもつ」ための定数の範囲を求められるようになります。2 次方程式の解が実数になるか虚数になるかは判別式 $D$ の符号で決まるので、条件を $D < 0$ という不等式に言いかえ、それを 2 次不等式として解きます。2 つの方程式が「ともに虚数解をもつ」ような条件も、それぞれの範囲の共通部分として求められます。

なぜそうしてよいのか

実数を係数とする 2 次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq = 0$ ）の解は、解の公式より $x = \frac{- b \pm D}{2 a}$ （ $D = b^{2} - 4 a c$ ）です。 $D < 0$ のときは $D = - D i$ で、 $- D > 0$ なので、解は $\frac{- b}{2 a} \pm \frac{- D}{2 a} i$ となり、虚部が $0$ でない虚数になります。一方 $D ≧ 0$ のときは $D$ が実数なので、解は実数です（ $D = 0$ なら実数の重解）。

つまり「虚数解をもつ」と「 $D < 0$ 」はちょうど同じ意味です。係数に文字 $k$ などが含まれていれば $D$ は $k$ の式になるので、 $D < 0$ は $k$ についての不等式になります。 $D$ が $k$ の 2 次式なら、これは前に学んだ 2 次不等式で、グラフ（放物線が $x$ 軸より下にある部分）を考えて解けます。

$x$ の係数が $2 b^{'}$ の形のときは、 $D = 4 (b^{'2} - a c)$ なので $\frac{D}{4} = b^{'2} - a c$ の符号を調べれば十分で、計算が楽になります。

手順

方程式を $a x^{2} + b x + c = 0$ の形に整理し、係数が実数であることと $x^{2}$ の係数 $a$ が $0$ でないことを確認する（ $a$ に文字が含まれるなら $a \neq = 0$ を条件に加える）
判別式 $D = b^{2} - 4 a c$ を計算する。 $x$ の係数が $2 b^{'}$ なら $\frac{D}{4} = b^{'2} - a c$ を使う
虚数解をもつ条件として $D < 0$ （または $\frac{D}{4} < 0$ ）を立て、定数についての不等式に整理する
その 2 次不等式を因数分解やグラフで解く。 $(k - α) (k - β) < 0$ （ $α < β$ ）なら $α < k < β$
ほかの条件（ $a \neq = 0$ 、別の方程式の条件など）があれば合わせる。「ともに」なら共通部分、「少なくとも一方」なら和集合をとる

例題

$x$ の 2 次方程式 $x^{2} + 2 (a - 1) x + a + 5 = 0$ が虚数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

例題の解答

手順1： $x^{2}$ の係数は $1 \neq = 0$ で、係数はすべて実数なので、2 次方程式として判別式が使える。
手順2： $x$ の係数が $2 (a - 1)$ なので $b^{'} = a - 1$ として
$\frac{D}{4} = (a - 1)^{2} - 1 \cdot (a + 5) = a^{2} - 2 a + 1 - a - 5 = a^{2} - 3 a - 4$
手順3：虚数解をもつ条件は $\frac{D}{4} < 0$ なので $a^{2} - 3 a - 4 < 0$ 。
手順4：因数分解すると $(a + 1) (a - 4) < 0$ 。放物線 $y = (a + 1) (a - 4)$ は $a = - 1, 4$ で横軸と交わる下に凸のグラフで、負になるのはその間なので $- 1 < a < 4$ 。
手順5：ほかに条件はないので、求める範囲は $- 1 < a < 4$ 。

答え: $- 1 < a < 4$

よくある誤り

等号を含めて $D ≦ 0$ としてしまう誤り。 $D = 0$ のときは実数の重解になるので、正しくは等号なしの $D < 0$ 。例：上の例題で $- 1 ≦ a ≦ 4$ とするのは誤りで、正しくは $- 1 < a < 4$
2 次不等式の解の向きを逆にしてしまう誤り。 $(a + 1) (a - 4) < 0$ を $a < - 1, 4 < a$ とするのは誤りで、正しくは「間」の $- 1 < a < 4$ （ $> 0$ のときが「外側」）
$x^{2}$ の係数に文字があるのに $0$ でない条件を落とす誤り。例： $k x^{2} + 2 x + 1 = 0$ で $k = 0$ なら $2 x + 1 = 0$ となり 2 次方程式ではない。正しくは $k \neq = 0$ かつ $\frac{D}{4} = 1 - k < 0$ を考え、 $k > 1$ （このときは $k \neq = 0$ も自動的に満たされる）
2 つの方程式の条件で共通部分と和集合を取り違える誤り。「ともに虚数解をもつ」はそれぞれの $D < 0$ を同時に満たす範囲（共通部分）、「少なくとも一方が虚数解をもつ」は和集合。例： $- 1 < a < 4$ と $a > 2$ が「ともに」なら $2 < a < 4$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

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