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複素数と方程式の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル数学II 複素数と方程式

$k$ を整数とする。 $x$ についての 2 つの 2 次方程式
$x^{2} - 2 k x + 3 k + 10 = 0 (1)$
$x^{2} - (k - 1) x + k + 2 = 0 (2)$
がどちらも虚数解をもつような整数 $k$ の値をすべて求めよ。

この問題で使うもの

虚数解をもつ条件（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（22 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

係数が実数の 2 次方程式が虚数解をもつ条件を、判別式を使って表しましょう。

ヒント 2

$(1)$ は $x$ の係数が偶数なので $\frac{D}{4} = b^{'2} - a c$ を使うと計算が楽です。2 つの方程式それぞれについて「判別式 $< 0$ 」という $k$ の 2 次不等式を立てます。

ヒント 3

$(1)$ からは $(k - 5) (k + 2) < 0$ 、 $(2)$ からは $(k - 7) (k + 1) < 0$ が得られます。この 2 つを同時に満たす $k$ の範囲を求め、その中の整数を数えましょう。

答えと解説

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{0, 1, 2, 3, 4}

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解説を読む

係数がすべて実数の 2 次方程式が虚数解をもつのは、判別式が負のときである。

方程式 $(1)$ について

$x$ の係数が $- 2 k$ なので、判別式を $D_{1}$ とすると
$\frac{D _{1}}{4} = (- k)^{2} - (3 k + 10) = k^{2} - 3 k - 10 = (k - 5) (k + 2)$
となる。 $(1)$ が虚数解をもつ条件は $\frac{D _{1}}{4} < 0$ なので
$(k - 5) (k + 2) < 0 より - 2 < k < 5$
である。

方程式 $(2)$ について

判別式を $D_{2}$ とすると
$D_{2} = {- (k - 1)}^{2} - 4 (k + 2) = k^{2} - 2 k + 1 - 4 k - 8 = k^{2} - 6 k - 7 = (k - 7) (k + 1)$
となる。 $(2)$ が虚数解をもつ条件は $D_{2} < 0$ なので
$(k - 7) (k + 1) < 0 より - 1 < k < 7$
である。

両方の条件をまとめる

$- 2 < k < 5$ かつ $- 1 < k < 7$ より $- 1 < k < 5$ である。これを満たす整数 $k$ は
$k = 0, 1, 2, 3, 4$
である。

（確認） $k = - 1$ のとき $(2)$ は $x^{2} + 2 x + 1 = 0$ となり、実数の重解 $x = - 1$ をもつので不適である。 $k = 5$ のとき $(1)$ は $x^{2} - 10 x + 25 = 0$ となり、実数の重解 $x = 5$ をもつので不適である。

よって、求める値は $k = 0, 1, 2, 3, 4$ である。

別解

(1) の判別式を $D_{1}$ とすると $D_{1} /4 = k^{2} - (3 k + 10) = k^{2} - 3 k - 10 = (k - 5) (k + 2)$ 。虚数解をもつ条件は $D_{1} < 0$ なので $- 2 < k < 5$ 。
(2) の判別式を $D_{2}$ とすると $D_{2} = (k - 1)^{2} - 4 (k + 2) = k^{2} - 6 k - 7 = (k - 7) (k + 1)$ 。虚数解をもつ条件は $D_{2} < 0$ なので $- 1 < k < 7$ 。
両方を満たす範囲は $- 1 < k < 5$ 。整数 $k$ は $0, 1, 2, 3, 4$ 。
検算： $k = 0$ のとき (1) $x^{2} + 10 = 0$ 、(2) $x^{2} + x + 2 = 0$ で $D = - 7 < 0$ 。 $k = 4$ のとき (1) $D /4 = 16 - 22 < 0$ 、(2) $D = 9 - 24 < 0$ 。 $k = - 1$ のとき (2) は $D = 0$ で重解（実数）となり不適。 $k = 5$ のとき (1) は $D = 0$ で不適。よって $k = 0, 1, 2, 3, 4$ 。

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