複素数と方程式の問題

(1) の判別式は $D_1=a^2-4b$、(2) の判別式は $D_2=b^2-4a$ である。係数はすべて実数なので、(1) が虚数解をもつ条件は $D_1<0$、すなわち
$$a^2<4b(\text{A})$$
(2) が虚数解をもつ条件は $D_2<0$、すなわち
$$b^2<4a(\text{B})$$
である。

(A) を満たす組を数える。 $a$ の値ごとに調べる。
- $a=1$: $1<4b$ はすべての $b$ で成り立つ。$b=1,2,\dots ,6$ の $6$ 個
- $a=2$: $4<4b$ より $b\geqq 2$。$5$ 個
- $a=3$: $9<4b$ より $b\geqq 3$。$4$ 個
- $a=4$: $16<4b$ より $b\geqq 5$。$2$ 個
- $a=5$: $25<4b$ より $b\geqq 7$ となり、$0$ 個
- $a=6$: $36<4b$ より $b\geqq 10$ となり、$0$ 個

よって (A) を満たす組は $6+5+4+2=17$ 個。

(B) を満たす組を数える。 (B) は (A) の $a$ と $b$ を入れかえた条件なので、同様に $17$ 個である。

(A) と (B) をともに満たす組を数える。 (A) を満たす $17$ 個の組について (B) $b^2<4a$ を確かめる。
- $(1,1)$: $1<4$ で成り立つ。$(1,b)$（$b\geqq 2$）は $b^2\geqq 4=4a$ で成り立たない
- $(2,2)$: $4<8$ で成り立つ。$(2,b)$（$b\geqq 3$）は $b^2\geqq 9>8$ で成り立たない
- $(3,3)$: $9<12$ で成り立つ。$(3,b)$（$b\geqq 4$）は $b^2\geqq 16>12$ で成り立たない
- $(4,5),(4,6)$: $b^2\geqq 25>16$ で成り立たない

よって両方を満たす組は $(1,1),(2,2),(3,3)$ の $3$ 個。

ちょうど一方だけを満たす組の個数は
$$(17-3)+(17-3)=28$$
である。

したがって求める個数は $28$ である。

(1) が虚数解をもつ条件は $a^2-4b<0$、(2) は $b^2-4a<0$。
集合 $A=\{(a,b):a^2<4b\}$、$B=\{(a,b):b^2<4a\}$ とする。
$|A|$: $a=1$ のとき $b=1\sim 6$ の 6 個、$a=2$ のとき $4<4b$ より $b=2\sim 6$ の 5 個、$a=3$ のとき $9<4b$ より $b=3\sim 6$ の 4 個、$a=4$ のとき $16<4b$ より $b=5,6$ の 2 個、$a=5$ のとき $25<4b$ より $b\ge 7$ で 0 個、$a=6$ も 0 個。計 $17$。
対称性より $|B|=17$。
$A\cap B$: $a=1$ では $b^2<4$ より $b=1$。$a=2$ では $b\ge 2$ かつ $b^2<8$ より $b=2$。$a=3$ では $b\ge 3$ かつ $b^2<12$ より $b=3$。$a=4$ では $b\ge 5$ かつ $b^2<16$ を満たす $b$ なし。$a=5,6$ も 0。よって $(1,1),(2,2),(3,3)$ の 3 個。
ちょうど一方: $|A|+|B|-2|A\cap B|=17+17-6=28$。
検算: 例えば $(1,2)$ は (1) の判別式 $1-8<0$、(2) の判別式 $4-4=0$ なので (1) のみ虚数解で条件を満たす。