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複素数と方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 複素数と方程式

$k$ を整数とする。 $x$ についての 2 次方程式
$x^{2} + 2 k x + k + 6 = 0$
が虚数解をもつような整数 $k$ の値をすべて求めよ。

この問題で使うもの

虚数解をもつ条件（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（22 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「2 次方程式が虚数解をもつ ⇔ 判別式 $D < 0$ 」という技能を使います。まず判別式を $k$ の式で表しましょう。

ヒント 2

$x$ の係数が $2 k$ なので $\frac{D}{4} = k^{2} - (k + 6)$ が使えます。 $\frac{D}{4} < 0$ を $k$ の 2 次不等式として解きます。

ヒント 3

$k^{2} - k - 6 < 0$ は $(k + 2) (k - 3) < 0$ と因数分解できます。この不等式の解の範囲に含まれる整数を数え上げましょう。

答えと解説

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{- 1, 0, 1, 2}

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解説を読む

方針　実数係数の 2 次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ が虚数解をもつのは、判別式 $D = b^{2} - 4 a c$ が $D < 0$ のときです。この条件を $k$ の 2 次不等式として解きます。

手順 1：判別式を求める

この方程式は $x$ の係数が $2 k$ と偶数の形なので、 $\frac{D}{4} = (\frac{b}{2})^{2} - a c$ を使います。
$\frac{D}{4} = k^{2} - 1 \cdot (k + 6) = k^{2} - k - 6$

手順 2：虚数解をもつ条件を不等式で表す

虚数解をもつ条件は $D < 0$ 、すなわち $\frac{D}{4} < 0$ なので
$k^{2} - k - 6 < 0$

手順 3：2 次不等式を解く

左辺を因数分解すると
$(k + 2) (k - 3) < 0$
$y = (k + 2) (k - 3)$ のグラフは下に凸の放物線で、 $k$ 軸と $k = - 2, 3$ で交わります。 $y < 0$ となるのはグラフが $k$ 軸より下にある部分なので
$- 2 < k < 3$

手順 4：整数を選ぶ

$- 2 < k < 3$ を満たす整数 $k$ は
$k = - 1, 0, 1, 2$

（確認： $k = 0$ のとき $x^{2} + 6 = 0$ で $x = \pm 6 i$ となり虚数解です。 $k = 3$ のとき $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2} = 0$ で重解 $x = - 3$ となり、虚数解ではありません。）

よって、求める整数 $k$ の値は $- 1, 0, 1, 2$ です。

別解

2次方程式 $x^{2} + 2 k x + k + 6 = 0$ が虚数解をもつ条件は、判別式 $D < 0$ である。
$D /4 = k^{2} - (k + 6) = k^{2} - k - 6 = (k - 3) (k + 2)$ 。
$D /4 < 0$ より $- 2 < k < 3$ 。
整数 $k$ は $k = - 1, 0, 1, 2$ 。
検算： $k = 2$ のとき $x^{2} + 4 x + 8 = 0$ 、 $D /4 = 4 - 8 = - 4 < 0$ で虚数解。 $k = 3$ のとき $D /4 = 9 - 9 = 0$ で重解（実数）、 $k = - 2$ のとき $D /4 = 4 - 4 = 0$ で重解となり不適。 $k = - 1$ のとき $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ 、 $D /4 = 1 - 5 = - 4 < 0$ で適する。
よって $k = - 1, 0, 1, 2$ 。

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