複素数と方程式の問題

手順 1：虚数解をもつ条件を判別式で表す

実数係数の 2 次方程式 $a{x}^2+bx+c=0$ が虚数解をもつのは、判別式 $D=b^2-4ac$ が $D<0$ のときである。

この方程式では $x$ の係数が $2m$ と偶数の形なので、$\frac{D}{4}=b^{\prime 2}-ac$（$b^{\prime }=m$）を使うと計算が短くなる。
$$\frac{D}{4}=m^2-1\cdot (3m+4)=m^2-3m-4$$

虚数解をもつ条件は $D<0$、すなわち $\frac{D}{4}<0$ であるから
$$m^2-3m-4<0$$

手順 2：2 次不等式を解く

左辺を因数分解すると
$$(m+1)(m-4)<0$$
$y=(m+1)(m-4)$ のグラフは下に凸の放物線で、$m$ 軸と $m=-1,4$ で交わる。$y<0$ となるのはグラフが $m$ 軸より下にある部分なので
$$-1<m<4$$

手順 3：条件に合う整数を選ぶ

$-1<m<4$ を満たす整数は $m=0,1,2,3$ である。

（確認：$m=0$ のとき方程式は $x^2+4=0$ で、解は $x=\pm 2i$ となり虚数解である。$m=4$ のときは $x^2+8x+16=(x+4{)}^2=0$ で重解 $x=-4$ をもつので含まれない。）

よって、求める $m$ の値は $m=0,1,2,3$ である。

判別式を $D$ とすると、$D/4=m^2-(3m+4)=m^2-3m-4=(m-4)(m+1)$。虚数解をもつ条件は $D<0$ なので $(m-4)(m+1)<0$、すなわち $-1<m<4$。整数 $m$ は $0,1,2,3$。
検算：$m=0$ のとき $x^2+4=0$ で $x=\pm 2i$ となり虚数解。$m=3$ のとき $x^2+6x+13=0$ で $D/4=9-13=-4<0$ となり虚数解。$m=-1$ のとき $x^2-2x+1=0$ で重解 1（実数）、$m=4$ のとき $x^2+8x+16=0$ で重解 $-4$（実数）となり、ともに不適。よって答えは $0,1,2,3$。