複素数と方程式の問題

2 次方程式 $x^2+2(m-1)x+m+5=0$ の判別式を $D$ とすると，$x$ の係数が $2(m-1)$ なので
$$\frac{D}{4}=(m-1{)}^2-1\cdot (m+5)=m^2-2m+1-m-5=m^2-3m-4$$
である。重解をもつ条件は $D=0$ なので
$$m^2-3m-4=0$$
$$(m-4)(m+1)=0$$
よって $m=4,-1$。

重解は $x=-\frac{2(m-1)}{2}=-(m-1)=1-m$ である。

• $m=4$ のとき，方程式は $x^2+6x+9=0$，すなわち $(x+3{)}^2=0$ となり，重解は $x=-3$。
• $m=-1$ のとき，方程式は $x^2-4x+4=0$，すなわち $(x-2{)}^2=0$ となり，重解は $x=2$。

したがって，重解として考えられる値は $-3,2$ である。

重解をもつ条件は判別式 $D/4=(m-1{)}^2-(m+5)=m^2-3m-4=(m-4)(m+1)=0$ より $m=4,-1$。重解は $x=-(m-1)=1-m$。$m=4$ のとき $x=-3$（方程式 $x^2+6x+9=0$）、$m=-1$ のとき $x=2$（方程式 $x^2-4x+4=0$）。どちらも確かに重解。