複素数と方程式の問題

$\alpha =\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ とおく。$2\alpha -1=\sqrt{3}i$ の両辺を 2 乗すると $4{\alpha }^2-4\alpha +1=-3$、すなわち
$${\alpha }^2-\alpha +1=0$$
が成り立つ。これより
$${\alpha }^2=\alpha -1,{\alpha }^3=\alpha \cdot {\alpha }^2={\alpha }^2-\alpha =(\alpha -1)-\alpha =-1,{\alpha }^4=\alpha \cdot {\alpha }^3=-\alpha$$
である。$x=\alpha$ を方程式に代入すると
$${\alpha }^4-4{\alpha }^3+a{\alpha }^2-4\alpha +1=-\alpha +4+a(\alpha -1)-4\alpha +1=(a-5)\alpha +(5-a)=(a-5)(\alpha -1)$$
となり、これが $0$ に等しい。$\alpha -1=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\ne 0$ であるから $a=5$ である。

このとき方程式は
$$x^4-4x^3+5x^2-4x+1=0$$
となる。$x=0$ は解ではないので、両辺を $x^2$ で割ると
$$x^2+\frac{1}{x^2}-4\left(x+\frac{1}{x}\right)+5=0$$
$t=x+\frac{1}{x}$ とおくと $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$ であるから
$$t^2-4t+3=0\text{より}(t-1)(t-3)=0$$
よって $t=1$ または $t=3$。

$t=1$ のとき $x^2-x+1=0$ で、判別式は $1-4=-3<0$ なので実数解はない（解は $\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}$ で、確かに $\alpha$ を含む）。

$t=3$ のとき $x^2-3x+1=0$ で、$x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$（実数）。

実際、$(x^2-x+1)(x^2-3x+1)=x^4-4x^3+5x^2-4x+1$ と確かめられる。

したがって実数解は $x=\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ である。

$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}=\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$ であり、$x\ne 0$ なので方程式の両辺を $x^2$ で割ると $x^2+\frac{1}{x^2}-4\left(x+\frac{1}{x}\right)+a=0$。$t=x+\frac{1}{x}$ とおくと $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$ だから $t^2-4t+a-2=0$。与えられた解では $\frac{1}{x}=\overline{x}$ なので $t=x+\overline{x}=1$。よって $1-4+a-2=0$ より $a=5$。このとき $t^2-4t+3=0$、すなわち $t=1,3$。$t=1$ では $x^2-x+1=0$ で解は虚数。$t=3$ では $x^2-3x+1=0$ で $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$（実数）。検算：$(x^2-x+1)(x^2-3x+1)=x^4-4x^3+5x^2-4x+1$ となり一致する。したがって実数解は $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$。